Continuando con la entrada anterior, una forma de tener aplicaciones sobreyectivas, continuas y cerradas (y por tanto, identificaciones) es tomar aplicaciones continuas cuyo dominio es compacto y que llegue a un espacio Hausdorff. Restringiendo el codominio a la imagen de la aplicación, ésta se hace sobreyectiva.
Tomamos $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}^2$ la proyección ortogonal $f(x,y,z)=(x,y)$. Entonces $f({\mathbb S}^2)={\mathbb D}^2=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: x^2+y^2\leq 1\}$. Entonces
$$\frac{{\mathbb S}^2}{R_f}\cong {\mathbb D}^2.$$
Sólo queda escribir la relación $R_f$. Se tiene $(x,y,z)R_f(x',y',z')$ si y sólo si $x=x'$, $y=y'$. Pero como $x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2=1$, esto es equivalente a decir que $z^2=z'^2$, es decir, $z'=\pm z$. Por tanto, la relación $R_f$ es
$$(x,y,z)R_f(x',y',z') \Leftrightarrow z'=\pm z.$$
Tomamos $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}^2$ la proyección ortogonal $f(x,y,z)=(x,y)$. Entonces $f({\mathbb S}^2)={\mathbb D}^2=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: x^2+y^2\leq 1\}$. Entonces
$$\frac{{\mathbb S}^2}{R_f}\cong {\mathbb D}^2.$$
Sólo queda escribir la relación $R_f$. Se tiene $(x,y,z)R_f(x',y',z')$ si y sólo si $x=x'$, $y=y'$. Pero como $x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2=1$, esto es equivalente a decir que $z^2=z'^2$, es decir, $z'=\pm z$. Por tanto, la relación $R_f$ es
$$(x,y,z)R_f(x',y',z') \Leftrightarrow z'=\pm z.$$
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