La circunferencia como cociente de la esfera

Seguimos con otro ejemplo de la entrada anterior. Tomamos la proyección $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}$ dada por $f(x,y,z)=z$. Esta aplicación es cerrada y continua y su imagen es $[-1,1]$. Y ahora hacemos el correspondiente cociente para identificar $[-1,1]$ con ${\mathbb S}^1$ relacionando $x=-1$ con $x=1$. Entonces definimos $g:[-1,1]\rightarrow {\mathbb S}^1$ mediante $g(t)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$.

Resumiendo, la aplicación $h:{\mathbb S}^2\rightarrow {\mathbb S}^1$ dada por $h=g\circ f$, $h(x,y,z)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$ induce un homeomorfismo ${\mathbb S}^2/R_h\cong {\mathbb S}^1$. Si queremos escribir $R_h$, entonces sería
$$(x,y,z)R_h (x',y',z')\mbox{ si }|z-z'|=2.$$