Si seguimos con al entrada anterior, planteamos el mismo problema pero en dimensión 2. Pregunta: ¿existen subconjuntos $A$ de ${\mathbb S}^2$ homeomorfos a ${\mathbb S}^2$?
Con el mismo razonamiento que se hizo para ${\mathbb S}^1$, el conjunto $A$ sería homeomorfo a un conjunto conexo y compacto de ${\mathbb R}^2$. Ya puede darse uno cuenta que el problema no es tan fácil de resolver como el problema planteado en la entrada anterior para la circunferencia ${\mathbb S}^1$.
Podemos poner ejemplos particulares de subconjuntos $A$, como $A={\mathbb S}^1$. Ya se vio en clase, usando conexión, que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.
Os dejo como ejercicio si es posible probar, usando las herramientas del temario de la asignatura, que el disco $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.
Con el mismo razonamiento que se hizo para ${\mathbb S}^1$, el conjunto $A$ sería homeomorfo a un conjunto conexo y compacto de ${\mathbb R}^2$. Ya puede darse uno cuenta que el problema no es tan fácil de resolver como el problema planteado en la entrada anterior para la circunferencia ${\mathbb S}^1$.
Podemos poner ejemplos particulares de subconjuntos $A$, como $A={\mathbb S}^1$. Ya se vio en clase, usando conexión, que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.
Os dejo como ejercicio si es posible probar, usando las herramientas del temario de la asignatura, que el disco $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.
La pregunta inicial de la entrada es interesante.
ResponderEliminarCualquier subconjunto A de S^2 que sea homeomorfo a S^2 debe ser conexo por caminos y compacto. Además, A-{p} (con p algún punto de A) debería ser homeomorfo a S^2-{q} (con q punto de S^2) y éste último es homeomorfo a R^3; pero entonces A-{p} debería ser simplemente conexo, y no es así.
Claro, no sé qué temas han tratado durante el curso, así que tampoco sé si es válido el razonamiento.
Efectivamente, el tema de 'grupo fundamental' no está en el programa de la asignatura. Puede suceder que la única forma de responder a la pregunta sea usando que A menos un punto interior no es simplemente conexo, o puede que no.
EliminarPor otro lado, de tu razanomiento hay que indicar que el punto p que se toma al principio es uno de su interior, por ejemplo, el origen, ya que si p es, por ejemplo, p=(1,0), A-{p} es simplemente conexo. Como conclusión final se tiene que A NO puede ser el disco cerrado.