Sabemos que la imagen de un conjunto conexo mediante una aplicación es continua. Sin embargo, si el espacio de partida no es conexo, puede ocurrir que sea o no sea conexo. Así, si $(X,\tau)$ es un conjunto no conexo, cualquier aplicación constante (que es continua), lleva el espacio en un punto, que es conexo. Veamos otro ejemplo, sin tomar una aplicación tan 'sencilla'.
Sea la función $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
Sea la función $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
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