A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a ${\mathbb R}^2$ le quitamos un conjunto $A$ dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, $A=\{(x,y):y=0\}$ o $A=\{(x,y):y-x^2=0\}$. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.
Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.
¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?
Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.
¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?
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