Quitando puntos hasta dejar de ser conexo

Dado un espacio topológico conexo, y vamos quitando puntos, ¿hasta cuándo dejará de ser conexo?
Para concretar un poco el problema, si empezamos con la recta euclídea ${\mathbb R}$, al quitar un punto, no es conexo (por no ser un intervalo). Por tanto, es empezar a quitar puntos, y al momento deja de ser conexo.
Bien diferente es empezar con el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$. Ya hemos visto en clase que al quitar un punto, es conexo (es homeomorfo al cilindro). Si quitamos otro más, es decir, ${\mathbb R}^2$, menos dos puntos, también es conexo. Hay un ejercicio en la relación de problemas que dice que al quitar un conjunto numerable, entonces queda conexo.
Es evidente que si quitamos muchos, ya deja de ser conexo, por ejemplo, si quitamos una recta. Pero si vamos quitando uno a uno ¿dejará de ser conexo?