Hoy ha surgido la duda siguiente: sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y $A,B\subset X$. Si $A\cong B$, ¿$X- A\cong X- B$? La respuesta es no.
Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.
Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}- A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}- B$ sí lo es.
Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2- A\not\cong {\mathbb R}^2- B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.
Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2- $ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.
Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.
Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}- A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}- B$ sí lo es.
Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2- A\not\cong {\mathbb R}^2- B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.
Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2- $ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.
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