Se puede usar el concepto de saturación

Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.

La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.

Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:

1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.

2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.

En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.

Abiertos en el cociente, abiertos saturados

En R se considera la relación xSy si x-y es un número entero. Sea p la aplicación proyección de R en R/S. Sabemos que la saturación de un conjunto A es R[A]=A+Z. Sea A=(0,1) y O=p(A). El conjunto A no es saturado, pero p(A) es un abierto en el cociente ya que si hacemos su imagen inversa mediante p, es decir, si calculamos su saturación, tenemos un abierto de R:

R[A]=p^{-1}(p(A))=A+Z=\cup_{n\in Z}(n+A)

y cada conjunto de la forma n+A es abierto pues es la traslación (un homeomorfismo) del conjunto A.

Si A es abierto, y si p(A) es abierto, ¿es que A es saturado? No. Lo que se sabe es que los abiertos en el cociente son las imágenes mediante p de abiertos saturados. Por tanto, p(A) es la imagen mediante de un cierto abierto saturado V: p(V)=p(A). Concretamente, V=A+Z.

También existen conjuntos A que no son abiertos, pero sí p(A), es decir, existen conjuntos no abiertos cuya saturación sí lo es. Esto ya se preguntó en el blog y ya se dieron ejemplos. En el caso anterior A=[0,1] no es abierto, p(A) sí es abierto, pues R[A]=R

¿Se lleva bien la saturación y la topología?

Como en la entrada anterior, consideramos un espacio topológico X y una relación de equivalencia R. Denotamos por R[A] la saturación de un subconjunto (no trivial) A de X. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:

1. A es abierto pero R[A] no es abierto.
2. R[A] es abierto, pero A no es abierto.
3. A es cerrado pero R[A] no es cerrado.
4. R[A] es cerrado, pero A no es cerrado.
5. A es conexo pero R[A] no es conexo.
6. R[A] es conexo, pero A no es conexo.
7. A es compacto pero R[A] no es compacto.
8. R[A] es compacto, pero A no es compacto.

Saturaciones de conjuntos

Os dejo aquí algunos ejercicios sencillos para que calculéis la saturación de conjuntos.

• Dado un conjunto $X$ y a un subconjunto suyo se considera la relación que identifica todos los puntos de $A$. ¿cuál es la saturación de cualquier subconjunto de $X$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $x-x'$ e $y-y'$ son números enteros. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par $(x,y)$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $y-x^3=y'-x'^3$. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par (x,y)?
• En la esfera $\mathbb{S}^n$, se considera la relación de ser iguales o antípodas. ¿cuál es la saturación de un subconjunto de S^n?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y'$) si $x=x'$ ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si ó son iguales ó x=x'=1 ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?