Os dejo aquí algunos ejercicios sencillos para que calculéis la saturación de conjuntos.
- Dado un conjunto $X$ y a un subconjunto suyo se considera la relación que identifica todos los puntos de $A$. ¿cuál es la saturación de cualquier subconjunto de $X$?
- En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $x-x'$ e $y-y'$ son números enteros. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par $(x,y)$?
- En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $y-x^3=y'-x'^3$. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par (x,y)?
- En la esfera $\mathbb{S}^n$, se considera la relación de ser iguales o antípodas. ¿cuál es la saturación de un subconjunto de S^n?
- En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y'$) si $x=x'$ ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
- En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si ó son iguales ó x=x'=1 ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
En el primer ejemplo:
ResponderEliminarSea X el conjunto y A cualquier subconjunto suyo. Entonces, xRy si:
- x,y pertenecen a A
- x=y
Consideramos ahora el subconjunto B de X. Entonces, R[B](saturación de B) es:
- A si B está contenido en A.
- B si la intersección entre B y A es vacía.
- BUA si hay elementos de B que están en A y otros que no lo están. (Es decir, B no está contenido en A, pero la intersección entre B y A no es vacía).
Veamos el segundo ejemplo:
ResponderEliminarEn R^2, (x,y)R(x',y') si x-x' e y-y' son enteros. Entonces la clase de equivalencia de un punto (x,y) es:
[(x,y)]={(x',y') de R^2 tales que, x'=x+Z e y'=y+Z} (siendo Z el conjunto de los números enteros)
El espacio cociente R^2/R podría identificarse con un espacio conocido, el Toro.
En el tercer ejemplo:
ResponderEliminarEn R^2, (x,y)R(x',y') si y-x^3=y'-x'^3, entonces la clase de equivalencia de un punto (x,y) es:
[(x,y)]={(x',y') de R^2 tales que y'=a+x'^3, siendo a=y-x^3}
En otras palabras, cada clase de equivalencia de un punto sería la "curva" (de grado tres) determinada por la ecuación y-x^3=A. (Es decir, la curva que pasa por el punto (x,y))
En el caso del quinto ejemplo:
ResponderEliminarEn R^2,(x,y)R(x',y') si x=x'.
Consideramos un subconjunto A de R^2. La saturacion de A, R[A] es:
[min{x;(x,y)pertenece a A},max{x;(x,y)pertenece a A}]x R^1.
En conclusión, sería una banda vertical.
En el quinto ejemplo, puede ser que el conjunto no tenga min{x;(x,y) pertenece a A} o que no tenga max{x;(x,y) pertenece a A}, por ejemplo la bola abierta de centro cero y radio 1.
ResponderEliminarAsí la saturación de un conjunto que tenga ínfimo, pero no mínimo, sería (inf{x;(x,y)pertenece a A},max{x;(x,y)pertenece a A}]x R^1.
Análogo para el caso en que tenga supremo, pero no máximo.
En el caso del sexto ejemplo donde se considera la relación de equivalencia en R^2 como:
ResponderEliminar(x,y)R(x',y') si (x,y)=(x',y') ó si x=x'=1
La saturación de un subconjunto B de R^2 es:
B si No Exite(x,y)eB con x=1
R[B]= ó
B U {1}xR si Exite(x,y)eB con x=1
Perdón, pero en el anterior comentario puse bien la saturación de B, pero al publicarlo ha salido desordenado, espero que se entienda.De todas maneras lo vuelvo a poner,
ResponderEliminarR[B]=
B si No Existe(x,y)eB con x=1
ó
B U {1}xR si Existe(x,y)eB con x=1
Volviendo al quinto ejemplo, entonces para los demás casos que no sean la bola abierta de centro cero y radio uno, podría servir lo que dije yo primero??? o puedes darme algún otro ejemplo??
ResponderEliminarPor ejemplo, la banda (0,1)x R no tiene mínimo ni máximo respecto a la primera coordenada, en ese ejemplo la clase de equivalencia de la banda sería la propia banda, que es de la forma (inf{x:(x,y) pertenece a la banda}, sup{x:(x,y) pertenece a la banda}).
ResponderEliminarNo entiendo por qué es necesario definir la saturación en el quinto caso utilizando máximos, mínimos o supremos e ínfimos. ¿Se podría definir también así: U({x}xR) siendo x la primera coordenada de los pares (x,y)de A?
ResponderEliminarAh..creo que ya entiendo la definición.. Pero creo que entonces está mal ¿?, porque en el caso en el que el conjunto A sea por ejemplo dos puntos de R^2 la saturación, así definida, incluye todas las bandas intermedias a esos dos puntos, que en realidad no tienen relación con ninguno de ellos.
ResponderEliminarNo entiendo porqué debe de incluir a todas las bandas intermedias en el caso de que A sea dos puntos de R^2, yo diría que según lo ha definido solo se trataría de dos rayas verticales pasando cada una por un punto del conjunto A.
ResponderEliminarAhh perdón,Isabel, tú te referías a la definición que dio Ismael ¿no?
ResponderEliminarEn el quinto ejemplo, creo que la saturación es lo que dijo Isabel (17 de mayo de 2009 19:15 ). También se puede escribir como el producto cartesiano p(A)xR, donde p(x,y)=x.
ResponderEliminarAhhh es cierto, si en el quinto ejemplo, A son dos puntos, no tienen porqué estar todas las bandas intermedias, sólo deberían estar las dos correspondientes a dichos puntos.
ResponderEliminarGracias por la aclaración.
¿Qué pasa con el cuarto ejemplo?
ResponderEliminarEn S^n, xRy si: x=y ó x=-y.
Entonces, sea A subconjunto de S^n, es fácil ver que:
R[A]=AU(-A)