miércoles, 13 de mayo de 2009

Saturaciones de conjuntos

Os dejo aquí algunos ejercicios sencillos para que calculéis la saturación de conjuntos.

  • Dado un conjunto $X$ y a un subconjunto suyo se considera la relación que identifica todos los puntos de $A$. ¿cuál es la saturación de cualquier subconjunto de $X$?
  • En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $x-x'$ e $y-y'$ son números enteros. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par $(x,y)$?
  • En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $y-x^3=y'-x'^3$. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par (x,y)?
  • En la esfera $\mathbb{S}^n$, se considera la relación de ser iguales o antípodas. ¿cuál es la saturación de un subconjunto de S^n?
  • En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y'$) si $x=x'$ ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
  • En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si ó son iguales ó x=x'=1 ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?

16 comentarios:

  1. En el primer ejemplo:

    Sea X el conjunto y A cualquier subconjunto suyo. Entonces, xRy si:
    - x,y pertenecen a A
    - x=y

    Consideramos ahora el subconjunto B de X. Entonces, R[B](saturación de B) es:

    - A si B está contenido en A.
    - B si la intersección entre B y A es vacía.
    - BUA si hay elementos de B que están en A y otros que no lo están. (Es decir, B no está contenido en A, pero la intersección entre B y A no es vacía).

    ResponderEliminar
  2. Veamos el segundo ejemplo:

    En R^2, (x,y)R(x',y') si x-x' e y-y' son enteros. Entonces la clase de equivalencia de un punto (x,y) es:

    [(x,y)]={(x',y') de R^2 tales que, x'=x+Z e y'=y+Z} (siendo Z el conjunto de los números enteros)

    El espacio cociente R^2/R podría identificarse con un espacio conocido, el Toro.

    ResponderEliminar
  3. En el tercer ejemplo:

    En R^2, (x,y)R(x',y') si y-x^3=y'-x'^3, entonces la clase de equivalencia de un punto (x,y) es:

    [(x,y)]={(x',y') de R^2 tales que y'=a+x'^3, siendo a=y-x^3}

    En otras palabras, cada clase de equivalencia de un punto sería la "curva" (de grado tres) determinada por la ecuación y-x^3=A. (Es decir, la curva que pasa por el punto (x,y))

    ResponderEliminar
  4. En el caso del quinto ejemplo:

    En R^2,(x,y)R(x',y') si x=x'.

    Consideramos un subconjunto A de R^2. La saturacion de A, R[A] es:
    [min{x;(x,y)pertenece a A},max{x;(x,y)pertenece a A}]x R^1.

    En conclusión, sería una banda vertical.

    ResponderEliminar
  5. En el quinto ejemplo, puede ser que el conjunto no tenga min{x;(x,y) pertenece a A} o que no tenga max{x;(x,y) pertenece a A}, por ejemplo la bola abierta de centro cero y radio 1.
    Así la saturación de un conjunto que tenga ínfimo, pero no mínimo, sería (inf{x;(x,y)pertenece a A},max{x;(x,y)pertenece a A}]x R^1.
    Análogo para el caso en que tenga supremo, pero no máximo.

    ResponderEliminar
  6. En el caso del sexto ejemplo donde se considera la relación de equivalencia en R^2 como:
    (x,y)R(x',y') si (x,y)=(x',y') ó si x=x'=1

    La saturación de un subconjunto B de R^2 es:

    B si No Exite(x,y)eB con x=1
    R[B]= ó
    B U {1}xR si Exite(x,y)eB con x=1

    ResponderEliminar
  7. Perdón, pero en el anterior comentario puse bien la saturación de B, pero al publicarlo ha salido desordenado, espero que se entienda.De todas maneras lo vuelvo a poner,
    R[B]=
    B si No Existe(x,y)eB con x=1
    ó
    B U {1}xR si Existe(x,y)eB con x=1

    ResponderEliminar
  8. Volviendo al quinto ejemplo, entonces para los demás casos que no sean la bola abierta de centro cero y radio uno, podría servir lo que dije yo primero??? o puedes darme algún otro ejemplo??

    ResponderEliminar
  9. Por ejemplo, la banda (0,1)x R no tiene mínimo ni máximo respecto a la primera coordenada, en ese ejemplo la clase de equivalencia de la banda sería la propia banda, que es de la forma (inf{x:(x,y) pertenece a la banda}, sup{x:(x,y) pertenece a la banda}).

    ResponderEliminar
  10. No entiendo por qué es necesario definir la saturación en el quinto caso utilizando máximos, mínimos o supremos e ínfimos. ¿Se podría definir también así: U({x}xR) siendo x la primera coordenada de los pares (x,y)de A?

    ResponderEliminar
  11. Ah..creo que ya entiendo la definición.. Pero creo que entonces está mal ¿?, porque en el caso en el que el conjunto A sea por ejemplo dos puntos de R^2 la saturación, así definida, incluye todas las bandas intermedias a esos dos puntos, que en realidad no tienen relación con ninguno de ellos.

    ResponderEliminar
  12. No entiendo porqué debe de incluir a todas las bandas intermedias en el caso de que A sea dos puntos de R^2, yo diría que según lo ha definido solo se trataría de dos rayas verticales pasando cada una por un punto del conjunto A.

    ResponderEliminar
  13. Ahh perdón,Isabel, tú te referías a la definición que dio Ismael ¿no?

    ResponderEliminar
  14. En el quinto ejemplo, creo que la saturación es lo que dijo Isabel (17 de mayo de 2009 19:15 ). También se puede escribir como el producto cartesiano p(A)xR, donde p(x,y)=x.

    ResponderEliminar
  15. Ahhh es cierto, si en el quinto ejemplo, A son dos puntos, no tienen porqué estar todas las bandas intermedias, sólo deberían estar las dos correspondientes a dichos puntos.
    Gracias por la aclaración.

    ResponderEliminar
  16. ¿Qué pasa con el cuarto ejemplo?

    En S^n, xRy si: x=y ó x=-y.

    Entonces, sea A subconjunto de S^n, es fácil ver que:

    R[A]=AU(-A)

    ResponderEliminar