La compactificación de Alexandroff de Q

La compactificación Hausdorff por un punto de un espacio Hausdorff y localmente compacto es equivalente a la compactificación de Alexandroff.

Consideramos el conjunto de los números racionales Q, con su topología usual. Este espacio es Hausdorff, pero no es localmente compacto. Por tanto, su compactificación de Alexandroff por un punto no puede ser Hausdorff.

Efectivamente, sea Q^*=Q\cup\{\omega\} una compactificación de Alexandroff por un punto de Q. Sea x un número irracional y \{q_n\} una sucesión de números racionales que converge a x. Entonces se tiene también que \{q_n\}\rightarrow \omega. Para ello, consideramos un abierto O que contenga a \omega.
Entonces Q^*-O es un compacto de Q. Pero los conjuntos compacto de Q son los conjuntos finitos. Por tanto, O\cap Q=Q-\{p_1,\ldots,p_n\} y evidentemente, a partir de un cierto término de la sucesión, ésta se encuentra en O\cap Q\subset O.

Conexión y compactificación de Alexandroff

Si un espacio (no compacto) es conexo, su compactificación X* por un punto es conexa, ya que $X^*$ es la adherencia de X, y por tanto, conexo.


Sin embargo, X puede ser no conexo, y su compactificación de Alexandroff por un punto puede ser conexo.


Por ejemplo, sea $X=(0,1)\cup (2,3).$ entonces $X^*$ es conexo.


Para ello, sean A y B dos abiertos formando una partición de $X^*$. Supongamos que A contiene a infinito. Entonces B es un abierto de X y $X^*-A=B$ es compacto y cerrado de X. Por tanto, B es abierto, cerrado de X. Entonces los conjuntos $B_1:=B\cap (0,1)$ y $B_2:=B\cap (2,3)$ son no vacío. Por tanto, $B_1$ es abierto y cerrado en $(0,1)$. Por conexión, $B_1=(0,1)$ y de la misma forma, $B_2=(2,3)$. Esto quiere decir que B es X, luego $A=\{\infty \}$ , el cual no es abierto: contradicción.

Alexandroff

El nombre de Alexandroff es Pavel Sergeevich Aleksandrov (1896-1982), matemático ruso.

Alexandroff es considerado como un impulsor clave de la Topología en el siglo XX, especialmente en Topología General y Topología Algebraica. Fue el creador, junto con Urysohn, de la noción de espacio compacto, espacio localmente compacto, recubrimiento localmente finito. Obtuvo resultados de metrizabilidad, que impresionaron al mismo Hausdorff.

Fue amigo de Urysohn y ambos trabajaron conjuntamente de forma muy intensa. Por cierto, mientras ambos estaban en la Bretaña francesa, Uryshon se ahogó en el mar.

Aprendió topología de Hausdorff y Brouwer. Trabajó con matemáticos importantes, como Hopf y Kolmogorov. Con Hopf, empezó a escribir tres volúmenes sobre Topología, cuyo primer volumen apareció en 1935.

En Rusia, Alexandroff es considerado como uno de los matemáticos rusos más importantes de la Historia. Recibió el Premio Stalin, cinco órdenes de Lenin, fue presidente de la Sociedad Matemática de Moscú durante 32 años y miembro de diferentes academias como la London Mathematical Society, la National Academy of Sciences (NSF) de los Estados Unidos y la American Philosophical Society.

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Compacidad local y operaciones topológicas

Si un subconjunto es localmente compacto. ¿también lo son su adherencia, su frontera, su interior y su exterior? Y viciversa. Por ejemplo, si la adherencia de un conjunto A es localmente compacto, ¿lo es también A?

Empiezo yo, con algunos ejemplos de (Sí, pero No; y de No, pero Sí):

• En Q, sea A un conjunto finito. Por tanto, A SI es localmente compacto. Como el exterior de A es Q-A, el exterior NO es localmente compacto.
• En R, el conjunto de números racionales Q NO es localmente compacto, pero su adherencia, que es todo R, SI lo es. El mismo ejemplo muestra un conjunto que NO es localmente compacto, pero SI su frontera (de nuevo, R).