Si un espacio (no compacto) es conexo, su compactificación X* por un punto es conexa, ya que X^* es la adherencia de X, y por tanto, conexo.
Sin embargo, X puede ser no conexo, y su compactificación de Alexandroff por un punto puede ser conexo.
Por ejemplo, sea X=(0,1)\cup (2,3). entonces X^* es conexo.
Para ello, sean A y B dos abiertos formando una partición de X^*. Supongamos que A contiene a infinito. Entonces B es un abierto de X y X^*-A=B es compacto y cerrado de X. Por tanto, B es abierto, cerrado de X. Entonces los conjuntos B_1:=B\cap (0,1) y B_2:=B\cap (2,3) son no vacío. Por tanto, B_1 es abierto y cerrado en (0,1). Por conexión, B_1=(0,1) y de la misma forma, B_2=(2,3). Esto quiere decir que B es X, luego A=\{\infty \} , el cual no es abierto: contradicción.
Sin embargo, X puede ser no conexo, y su compactificación de Alexandroff por un punto puede ser conexo.
Por ejemplo, sea X=(0,1)\cup (2,3). entonces X^* es conexo.
Para ello, sean A y B dos abiertos formando una partición de X^*. Supongamos que A contiene a infinito. Entonces B es un abierto de X y X^*-A=B es compacto y cerrado de X. Por tanto, B es abierto, cerrado de X. Entonces los conjuntos B_1:=B\cap (0,1) y B_2:=B\cap (2,3) son no vacío. Por tanto, B_1 es abierto y cerrado en (0,1). Por conexión, B_1=(0,1) y de la misma forma, B_2=(2,3). Esto quiere decir que B es X, luego A=\{\infty \} , el cual no es abierto: contradicción.
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