La compactificación de Alexandroff de Q

La compactificación Hausdorff por un punto de un espacio Hausdorff y localmente compacto es equivalente a la compactificación de Alexandroff.

Consideramos el conjunto de los números racionales Q, con su topología usual. Este espacio es Hausdorff, pero no es localmente compacto. Por tanto, su compactificación de Alexandroff por un punto no puede ser Hausdorff.

Efectivamente, sea Q^*=Q\cup\{\omega\} una compactificación de Alexandroff por un punto de Q. Sea x un número irracional y \{q_n\} una sucesión de números racionales que converge a x. Entonces se tiene también que \{q_n\}\rightarrow \omega. Para ello, consideramos un abierto O que contenga a \omega.
Entonces Q^*-O es un compacto de Q. Pero los conjuntos compacto de Q son los conjuntos finitos. Por tanto, O\cap Q=Q-\{p_1,\ldots,p_n\} y evidentemente, a partir de un cierto término de la sucesión, ésta se encuentra en O\cap Q\subset O.