Separación de puntos

En el ejemplo de hoy tomamos un conjunto $X$ y una partición por dos conjuntos $A$ y $B$, cada uno con más de dos puntos. Tomamos como abiertos de la topología $T$, aparte de los triviales, a los conjuntos $A$ y $B$. Hemos probado que no es Hausdorff ya que dos puntos de $A$ no pueden separarse por abiertos. Esto se debe a que el único abierto que contiene a cada uno de esos puntos es $A$ (aparte de $X$).

Algo parecido lo podemos en la topología del punto incluido: sea $X$ un conjunto y $p$ el punto elegido. Entonces todo abierto contiene al punto p, luego dos abiertos distintos siempre se cortan. Esto significa que no es Hausdorff.

Y también algo parecido sucede cuando en el espacio topológico existen puntos algo "patológicos". Por ejemplo, si hay un punto, donde el único entorno es todo el espacio. Esto sucede por ejemplo en la topología de Sierpinski o en la topología del punto excluido, donde el único entorno del punto excluido es todo el espacio.

Convergencia de sucesiones en la topología de Sorgenfrey

En la topología de Sorgenfrey, consideramos $\{x_n\}\rightarrow x$ y tomamos como entorno $[x,x+\epsilon)$. Entonces a partir de un cierto lugar $m$, $x_n\in [x+\epsilon)$. Por tanto, podemos comparar la "definición" de convergencia en $\mathbb{R}$ con la topología usual, con la definición en la topología de Sorgenfrey, que es la siguiente:

Para cada $\epsilon>0$, existe un natural m tal que si $n\geq m$, $0\leq x_n-x<\epsilon$.

De esta forma podemos encontrar sucesiones convergente para la topología usual que no lo son en la de Sorgenfrey. Concretamente, si $x_n\nearrow x$ en la topología usual, nunca converge en la topología de Sorgenfrey.

Convergencia de sucesiones en la topología a derechas

Sea $R$ con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $x=-80$, ya que para el entorno de la base de entornos de $x$, esto es, $U=[-80,\infty)$, todos los elementos de la sucesión pertenecen a $U$.

En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.

Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.

Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.

Caminos y conexión

Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos $p=(0,0,0$) y $q=(0,0,2)$. Sea
$\alpha:[0,1]\rightarrow R^3$ un camino que una $p$ con $q$. Queremos probar que la curva $\alpha$ debe intersecar la esfera $S^2$ (cosa que se "ve" claramente).

Consideramos$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ las funciones coordenadas del camino y definamos la función $f:[0,1]\rightarrow R$ dada por $f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, $f(0)=|p|^2=0$ y $f(1)=|q|^2=4$. Ya que $[0,1]$ es conexo, por el teorema del valor medio, existe
$t_0\in [0,1]$ tal que $f(t_0)=1$. Esto quiere decir que $|\alpha(t_0)|^2=1$, es decir, $\alpha(t_0)\in S^2$.