Generalización de un cono

En esta entrada vamos a dar el concepto de cono topológico.

Para motivar la definición, consideramos el (trozo de) cono dado por $C=\{(x,y,z);x^2+y^2=z^2, 0\leq z\leq 1\}$. Este conjunto lo podemos ver como cociente del cilindro $X=S^1\times[0,1]$ del siguiente modo. En X se define la relación de equivalencia que identifica todos los puntos del subconjunto $S^1\times\{0\}$. Veamos que X/R es homeomorfo a C.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow C$ mediante $f(x,y,z)=(xz,yz,z)$. Es evidente que esta aplicación satisface $R_f=R$, pues, por un lado, $f(x,y,0)=(0,0,0)$ y por otra, si $f(x,y,z)=f(x',y',z')$, entonces z=z', y si z no es cero, entonces x=x' e y=y'. Y si z=0, entonces los puntos $(x,y,0)$ y $(x',y',z')$ pertenecen a $S^1\times\{0\}$.

Finalmente, la aplicación es continua, sobreyectiva y cerrada, ya que X es un compacto. Esto prueba que $X/R$ es homeomorfo a C.

Damos ya la definición de cono topológico. Dado un espacio topológico X, se define el cono de base X como el espacio cociente que se obtiene al identificar en el espacio producto $X\times [0,1]$ el subconjunto $X\times\{0\}$. El punto del conjunto cociente dado por la clase de $(x,0)$ se llama el vértice del cono.