Topología cociente - topología producto

La topología cociente es, en cierto sentido, dual de la topología producto. En Topología, la topología cociente es un ejemplo de topología final, y la topología producto, un ejemplo de topología inicial. Veamos esas propiedades duales.

1. Sean espacios topológicos (X,T) e (Y,T') y el espacio topológico producto (XxY,TxT').

• Las aplicaciones proyecciones son continuas: p:(X\times Y,T\times T')\rightarrow (X,T) y p':(X\times Y)\rightarrow (Y,T').
• La topología TxT' es la topología menos fina en XxY que hace continuas a las aplicaciones proyecciones.
• Una aplicación f:(Z,T'')\rightarrow (X\times Y,T\times T') es continua si y sólamente sip\circ f y p'\circ f son continuas.

2. Sea un espacio topológico (X,T) y R una relación de equivalencia en X.

• La aplicación proyección p:(X,T)\rightarrow (X/R,T/R) es continua.
• La topología T/R es la topología más fina en X/R que hace continua a la proyección.
• Una aplicación f:(X/R)\rightarrow (Z,T') es continua si y sólamente si f\circ p es continua.