Sea (X,T) un espacio topológico y
f:(X,T)\rightarrow Y una aplicación. Definimos la siguiente topología T_f en Y.T_f=\{O'\subset Y;f^{-1}(O')\in T\}.Esta topología se llama topología final en Y determinada por (X,T) y f. Esta topología tiene las siguientes propiedades (¡ejercicio!):- La aplicación
f:(X,T)\rightarrow (Y,T_f)es continua. - La topología T_f es la topología más fina en Y que hace continua a f. Esto significa lo siguiente: sea T' otra topología en Y que satisface que la aplicación
f:(X,T)\rightarrow (Y,T')es continua. EntoncesT'\subset T_f. - Sea una aplicación
g:(Y,T_f)\rightarrow (Z,T''). Entonces g es continua si y sólamente sig\circ fes continua.
Observemos que si la aplicación no es sobreyectiva, entonces la topología final induce en Y-f(X) la topología discreta.
Dada una relación de equivalencia R en un espacio topológico (X,T), la topología cociente es la topología final en el conjunto cociente X/R determinada por (X,T) y la aplicación proyección p:X\rightarrow X/R.
Para ver que la aplicación es continua es suficiente probar que la preimagen de todo abierto es abierto, pero por definición, si tomamos, O´c Tf, y hacemos la imagen inversa,f^(-1), sabemos que esto es un abierto de T, por tanto la aplicación es continua
ResponderEliminar'La topología t(f) es la topología más fina que hace continua a f.'
ResponderEliminarSea t' otra topología tal que f:(X,t)->(Y,t') es continua.
Entonces, para todo abierto de t',O', f^(-1)(O') es un abierto de t. Pero, por entonces, 0' está contenido en Y y f^(-1)(O') pertenece a t, y por tanto, 0' es un abierto de t(f).
'Sea f:(X,t)->(Y,t(f)) identificación. Dada una aplicación g:(Y,t(f))->(Z,t'), g es continua, sí, y sólo sí, gf es continua.'
Suponemos que g es continua, entonces gf es continua por ser composición de continuas.
Ahora, si gf es continua, entonces para todo 0' abierto de t', (gf)^(-1)(O') pertenece a t, entonces (f^(-1))(g^(-1)(O')) esa bierto de t, y por definición de topología final t(f), g^(-1)(O') pertenece a t(f). Por tanto, g es continua.