Homeomorfismos de intervalos en otras topologías II

En la entrada anterior, hemos considerado homeomorfismos entre intervalos de R tomando otras topologías. Continuamos con dicho problema, asumiendo que R tiene la topología a derechas, es decir, la que tiene por base a intervalos de la forma $[a,\infty)$.

Se sabe que las aplicaciones continuas son las aplicaciones continuas. Por tanto, si nos preguntamos si dos conjuntos son homeomorfos, es equivalente a encontrar aplicaciones crecientes entre ellos.

De esta forma, dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí, y homeomorfos a los de la forma $(a,\infty)$ y a R. Y lo mismo podemos decir entre intervalos de la forma $[a,\infty)$, $(-\infty,a)$, $(-\infty,a]$, intervalos cerrados, intervalos de la forma $(a,b]$ y finalmente, $[a,b)$. Observemos, y esto es importante, que las aplicaciones biyectivas crecientes que hemos usado para probar lo anterior, son en verdad, homeomorfismos con la topología usual. Pero esto sobra, ya que sólo hace falta biyectiva y creciente.

Quedaría estudiar, por ejemplo, si $(0,\infty)$ es homeomorfo a $[0,\infty)$. ¿existen aplicaciones biyectivas y crecientes entre un conjunto y otro? Observad que si una aplicación biyectiva es creciente, lo mismo sucede con su inversa.

Homeomorfismos de intervalos en otras topologías

Se ha probado que los intervalos abiertos de $R$ son homeomorfos entre sí considerando la topología usual. Nos preguntamos ahora si es cierto el resultado, pero cambiando la topología.

Si tomamos la topología discreta, entonces todo subconjunto tiene como topología inducida la topología discreta. Ya que dos intervalos (abiertos o cerrados, acotado o no acotados) son biyectivos, entonces son homeomorfos.

Tomemos ahora una topología más interesante de $R$, por ejemplo, la topología de Sorgenfrey. Entonces dos intervalos abiertos acotados son homeomorfos entre sí. Para ello, consideramos $(a,b)$ y $(c,d)$ dos intervalos abiertos acotados y $f$ un homeomorfismo con la topología usual entre ambos intervalos que sea creciente, por ejemplo, uno del tipo $f(x)=mx+n$, con $m>0$. Entonces $f$ es continua con la topología de Sorgrenfrey, ya que la imagen inversa de un intervalo de la forma $[x,y)$ es otro del mismo tipo. Ya que la inversa de $f$ también es creciente, se concluye que $f$ es un homeomorfismo de $R$ en $R$ con la topología de Sorgenfrey. Tomando la aplicacion $x/(1+x)$, establecemos un homeomorfismo entre $R$ y el intervalo $(-1,1)$.

Del mismo modo, se concluye que todos los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí. Lo mismo, todos los intervalos de la forma $[a,b)$; Y también los de la forma $(a,b]$ entre sí.

Del mismo modo, una traslación creciente, es decir, una aplicación de la forma f(x)=x+n, es un homeomorfismo con la topología de Sorgenfrey. Por tanto, los intervalos de la forma (a,infinito) son homeomorfos entre sí; lo mismo con los intervalos de la forma [a,infinito); los de la forma (-infinito,a); y los de (-infinito,a].

Nos quedaría responder a las siguientes preguntas. ¿(0,infinito) es homeomorfo a (-infinito,0)? Está claro que la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo, ya que no es continua, pero podría existir otro.

¿(0,1) es homeomorfo a [0,1]? ¿(0,1]? es homeomorfo a [0,1)?

Ejemplos de homeomorfismo explícitos

Siguiendo el modo de trabajar como hemos venido haciendo en clase, es decir, "escribiendo" las deformaciones entre subconjuntos de espacios euclídeos, podemos explicitar ejemplos de parejas de conjuntos homeomorfos entre sí.

Dos esferas; dos esferas menos sendos puntos; dos cilindros; dos círculos; un cilindro y un cilindro abierto acotado del tipo S^1 x (a,b); un cono y R^2; un cono menos un punto y una corona circular; dos parejas de rectas que no se cortan entre sí; dos parejas de rectas que se corta en un punto; una recta de R^n y un intervalo; una esfera menos dos puntos y un cilindro; un semiplano abierto de R^2 y R^2; R^2 menos una recta y dos bolas disjuntas de R^2.

Un intervalo es homeomorfo a una recta

Cuando uno trabaja con la recta de los números reales R (pienso en Cálculo, en primero de carrera), uno la pinta habitualmente como "una recta en el papel". Esto en verdad es una "representación" de R, ya que la recta en el papel es al menos, un subconjunto del plano (RxR). Sin embargo, mentalmente, es así como uno se imagina R.

En verdad, si uno considera una recta afín de R^n, entonces es fácil probar que dicha recta es homeomorfa a un intervalo abierto. En particular a R. De esta forma, no hay problema de pintar R como una raya en el papel: es más, dicha raya no tiene porqué ser "recta", topoló- gicamente hablando claro.

Del mismo modo, un trozo de una recta afín, es decir, si cogemos unas tijeras y cortamos un segmento del mismo, es homeomorfo a un intervalo cerrado de R.

Homeomorfismos, páginas webs y conjetura de Poincaré

Cristina Martín me ha escrito un correo sobre cómo visualizar los homeomorfismos a través de figuras de plastilina. La historia se llama "Aroa y Miguel". Lo podéis ver en
http://www.uam.es/otros/hojavol/hoja10/poincare10.html.

Continuando con esto, es posible ver las deformaciones (homeomorfismos) entre subconjuntos de espacios euclídeos con el programa Mathematica. Jose Luis Rodríguez me ha enseñado que en su blog se puede ver vídeos que él ha hecho y publicado en YouTube. Se puede ver un ejemplo aquí y la explicación del proceso de creación de vídeo. También podéis ver más ejemplos en

http://topologia.wordpress.com/2009/03/18/encoger-rajar-y-pinchar/

Por último, Pedro Barragán quería escribir algo sobre la conjetura de Poincaré. La historia es larga y hay mucho sitios dónde ver algo sobre ella. En este blog, por ejemplo. El mismo enlace de antes y de nuevo en el blog de Juegos topológicos, donde hay más enlaces.

Homeomorfismos que no son afinidades

Por supuesto que no todos los homeomorfismos de R^n son afinidades (ver entrada de ayer). Un ejemplo es la función tag(x), que es un homeomorfismo entre el intervalo (-\pi/2,\pi/2) y la recta real R.

Otro ejemplo es el de una recta de R^n y R. Así, al recta R\times\{0\} del plano es homeomorfa a R, mediante la aplicación \phi(x,0)=x y \phi no es una afinidad.

Otro ejemplo es que la gráfica de una parábola y=x^2, esto es, A=\{(x,x^2);x\in R\} es homeomorfa a una recta. Esto es evidente si nos imaginamos A como si fuera una cuerda: no hay nada más que "bajar" la cuerda y hacerla una recta. En este caso el homeomorfismo entre A y R es \phi(x,x^2)=x y de nuevo no es una afinidad.

Los dos últimos ejemplos son casos particulares de un resultado más general que nos dice que si f:R^n\rightarrow R es una aplicación continua, entonces el grafo de f, es decir, el conjuntoA=\{(x,f(x));x\in R\}\subset R^{n+1} es homeomorfo a R^n, sin más que tomar\phi(x,f(x))=x.
En el primer ejemplo, f(x)=0, y en el segundo, f(x)=x^2.

Una "aplicación" de los homeomorfismos

Entre uno de los usos de los homeomorfismos es que, para estudiar la topología de un espacio X, podemos sustituir dicho espacio por otro Y homeomorfo a él, y tal que Y sea ´"más fácil" de estudiar. Es así, usando homeomorfismos, cuando uno dice algo del tipo "sin perder generalidad, podemos suponer que X es Y". ¿Qué quiere decir esto exactamente?

Supongamos que X es el círculo de R^2 de centro (2,4) y radio 5. Queremos hallar el interior de X. Sabemos que X es homeomorfo al círculo Y de centro el origen y radio 1. Y supongamos que para nosotros es más fácil estudiar el problema de interior para Y. Entonces decimos, "sin perder generalidad, podemos suponer que el círculo es Y".

Hallamos ahora el interior de Y, y probamos entonces que int(Y) es el conjunto vacío. Consideramos f un homeomorfismo de R^2 en R^2 que me lleva Y en X: por ejemplo, la homotecia de razón 5 seguido de la traslación de vector de traslación (2,4). Entonces f(Y)=X. Se sabe que dado un homeomorfismo, f(int(Y))=int (f(Y)). Por tanto, f(int(Y))=int(X), es decir, el vacío, ya que int(Y) es el vacío.

Deformaciones a través de afinidades

Una afinidad en R^n es una aplicación del tipo x \longmapsto Ax+b, donde A es una matriz cuadrada nxn y regular, y b es un vector de R^n. Se ha visto hoy en clase que las afinidades son homeomorfismos.

Si tomamos un subconjunto A de R^n y le aplicamos una afinidad f, nos da un conjunto f(A) que es homeomorfo a A. Como ejemplos tenemos:

Todas las bolas de R^n son homeomorfas entre sí, a través de traslaciones y homotecias.

Todos los subespacios vectoriales de la misma dimensión son homeomorfos entre sí, ya que siempre hay un isomorfismo que lleve uno en otro. Así, todas las rectas de R^n son homeomorfas entre sí. Todos los planos son homeomorfos entre sí.

Una elipse de R^2 es homeomorfa a un círculo de R^2. Un elipsoide de R^3 a una esfera de R^3. Esto se hace a través de una aplicación del tipo f(x,y,z)=(ax,by,cz), donde a, b y c son constantes.

Si tomamos cilindros, entonces todos son homeomorfos entre sí, independientemente del radio o del eje.

Ser bello no es una propiedad topológica

Una propiedad topológica es una propiedad que se mantiene por homeomorfismos. Pero ¿cuántas propiedades topológicas hay? Me imagino que muchas, muchísimas. Por cierto, ¿hay propiedad que no son topológicas? Evidentemente que sí. Un alumno me ha comentado al salir de clase que "propiedades hay muchas" y por tanto, uno las puede utilizar para estudiar si dos espacios no son homeomorfos. No. Hay que ver primero cuáles de ellas son topológicas. Pongo tres ejemplos de propiedades que no son topológicas.

1. Sea la propiedad "tener al 1 como elemento". Si (X,T) es un espacio topológico que tiene al 1 como elemento e (Y,T') es otro espacio homeomorfo a (X,T), no hay manera de saber si el 1 es o no elemento de Y. Es más, existen espacios homeomorfos de forma que uno tiene al 1 como elemento y el otro no: Sea X=\{1,2\} e Y=\{0,2\} ambos con la topología discreta. Entonces cualquier biyección entre ambos espacios es un homeomorfismo. Sin embargo X satisface la propiedad e Y no.

2. Ser bello no es una propiedad topológica. Primero, precisamos qué estamos haciendo. Lo podemos hacer en el conjunto de las personas. Consideramos todas las personas, como subconjuntos del espacio euclídeo y con la topología usual. Supongamos que sabemos cuándo una persona es bella o no, por ejemplo, si es bella sólo en la cara. Imaginemos que la piel de la persona se puede moldear (como si fuera plastilina), de forma que podamos estirar de un lado y encoger de otro, tal como hacen los cirujanos plásticos. Entonces es evidente que a una persona P1 que NO es bella (no satisface la propiedad) le podemos deformar la cara hasta hacerla guapa, a base de estiramiento por aquí y por allá. Llamamos P2 a la persona resultante (la misma que antes, pero cambiada la cara). Entonces todo el proceso de estiramiento/encogimiento no es más que haber realizado un homeomorfismo de P1 a P2. Esto prueba que ser bello no es una propiedad topológica.

3. Ser bajo no es una propiedad topológica. Supongamos, considerando el mismo conjunto de espacios topológicos que antes (¡las personas!), que decimos "una persona es baja si mide menos de 1'50 m." Entonces "ser bajo no es una propiedad topológica". Podemos imaginar una persona joven, que mida menos de 1'50 y la llamamos P1. En su periodo de crecimiento, su cuerpo se va estirando, y llegado el momento, sobrepasa esa medida, dejando de ser bajo. Llamamos P2 a esa "nueva" persona. Entonces hay un estiramiento de la persona que hace establecer un homeomorfismo entre P1 y P2. Esto prueba que ser bajo no es una propiedad topológica. ¡También hay ejercicios de estiramiento que hacen crecer un poco la estatura de las personas! y si no, ver este enlace.

Homemorfismo y la plastilina

Habitualmente, cuando uno oye hablar de la Topología siempre escucha cosas como que "la Topología es la ciencia de la plastilina" o que "La Topología es la geometría de las figuras de goma". En la Wikipedia se afirma que es "Geometría de la página de chicle". La idea es que la Topología estudia las propiedades invariantes por homeomorfismos.

Un homeomorfismo puede imaginarse como una deformación bicontinua (aplicación biyectiva, continua e inversa continua) ya que en una "deformación", puntos próximos va a puntos próximos (continuidad). No está permitido en la deformación "cortes" o "pegamiento", ya que esto viola la biyectividad.

Con esta entrada quiero mostrar que hay que tener cuidado con todo lo anterior, es decir, con las expresiones entrecomilladas. Concretamente, lo anterior se asume si nos estamos imaginando objetos en el espacio euclídeo con la topología usual.

Si pincháis aquí veréis una ejemplo muy intuitivo de lo que es un homeomorfismo. Un objeto, una taza, pasa a ser una rosquilla mediante un homeomorfismo. ¿cuáles son los espacios topológicos? Subconjuntos del espacio euclídeo (taza y rosquilla) con la topología usual. Por esta razón, podemos "ver" el homeomorfismo como una deformación, ya que la deformación del vídeo es "visual" (no paro de entrecomillar).

En la Wikipedia se afirma que "un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto." Claro, todo ello, aunque no se dice, es con la topología usual.

Pero si la topología cambia (incluso con objetos del espacio), entonces es difícil (si no imposible) saber qué es una deformación. Si uno asume que las topologías son las discretas, entonces toda aplicación biyectiva es homeomorfismo. Un ejemplo no trivial y que puede ser útil. Consideramos dos conjuntos X e Y ambos con la topología de los complementos finitos. Entonces toda aplicación biyectiva entre ellos es un homeomorfismo. Recordar que en esta topología, dos entornos de sendos puntos ¡siempre se intersecan!

Cogemos ahora un círculo y un segmento y consideramos en ellos la topología de los complementos finitos. Como ambos tienen el mismo cardinal (el de R), son biyectivos. Entonces cualquier aplicación biyectiva entre el círculo y el segmento es "una deformación considerando la topología de los complementos finitos".

Esto nos asegura pues, como se afirma en la Wikipedia, que "El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la Topología, que les hace avanzar muy lentamente cuando no pueden encontrar un ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que "no entienden la Topología" y que no les gusta esa rama, y generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica."

Último ejemplo de "deformación rara". Consideramos R con la topología a derechas. Entonces toda aplicación creciente es continua. Por tanto, la aplicación f(x)=x si x es menor que 0 y x+1 si es mayor o igual que 0 es un homeomorfismo de R en R. Sin embargo es una aplicación que "rompe" la recta real: rompe si vemos R con la topología usual, no con la topología a derechas.

Por el contrario, la aplicación f(x)=-x no es un homeomorfismo (no es creciente); sin embargo con la topología usual (tanto en el dominio como el codominio) es un homeomorfismo: la deformación consiste sólo en girar la recta euclídea.

(dedicado a Rajoy)

Continuidad en un punto/continuidad en un espacio

Recuerdo el ejemplo que hoy se ha hecho en clase sobre continuidad. Se considera f(x)=x^2 entre (R,Tu) y (R,Ts), donde Tu es la topología usual y Ts la de Sorgenfrey.

Estudiar la continuidad de f es algo diferente de estudiar en qué puntos es continua. En nuestro caso, en un primer paso vimos claramente que f^{-1}([1,4))=[1,2)\cup (-2,-1] , que no pertenece a Tu. Por tanto, la aplicación no es continua. Aunque para otros abiertos, por ejemplo, [-1,1), se tenía f^{-1}([-1,1))=(-1,1) que sí es abierto en la topología usual. Por tanto, la aplicación no es continua, pero hay abiertos en Ts cuya imagen recíproca sí es abierto en la topología usual. ¿Esto nos ayuda a saber en qué puntos la función es continua?

Cuando hemos tomado abiertos de la forma [a,b), si su imagen inversa es abierto, entonces f es continua en una preimagen de a. Por ejemplo, tomamos [0,1). Entonces f^{-1}([0,1))=(-1,1),, luego f es continua en x=0. Podemos observar que los únicos elementos de la base usual de Ts, de la forma [a,b), cuya imagen inversa es abierto en la usual son aquéllos en los que a\leq 0. Por tanto, f sólo es continua en el punto x=0, y no es continua en el resto de los puntos del dominio.

Más sobre conjuntos densos

Siguiendo con conjuntos densos, se imagina uno que un conjunto denso debe ser "muy grande". Podríamos decir que sí, pero "grande" desde un punto de vista topológico, como no podría ser de otra forma, porque en cuanto a su "tamaño" viéndolo como conjunto, la cosa cambia. Pongo dos ejemplos.

Sea X un conjunto con la topología T del punto incluido para un punto p. Entonces el conjunto A=\{p\} es denso en X: dado cualquier abierto de (X,T), debe contener a p, luego interseca a A. En este caso, A ¡sólo tiene un elemento!.

Tomamos ahora X con la topología discreta T. Entonces todo conjunto es cerrado, es decir, A=\overline{A}. Por tanto, el único conjunto denso es X. En este ejemplo, cualquier subconjunto suyo, por muy grande que sea (desde el punto de vista conjuntista), nunca es denso en X.

Conjuntos densos

Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso si su adherencia es X. Esto significa que todo punto de X es adherente a A, es decir, todo abierto de X interseca a A. De forma equivalente, A es denso si dada una base de abiertos de X, todo elemento de la base interseca a A.

El ejemplo típico es considerar el conjunto de los números racionales Q en R, con la topología usual. Tomamos la base usual de R, es decir, los intervalos abiertos. Entonces, todo intervalo interseca a Q, ya que entre dos números reales, existe un número racional. De la misma forma, el conjunto de los números irracionales es denso en R.

A continuación pongo cómo el mismo subconjunto A en X es denso o no, cambiando la topología en X. Tomamos X=R^2 y A=\{0\}\times R.

1. Consideramos en R^2 la topología usual. Entonces A no es denso en R^2. Por ejemplo, si tomamos el punto p=(2,0) y su entorno dado por la bola B_1(p), entonces esta bola no interseca a A. En verdad, la adherencia de A es el propio A, es decir, A es un conjunto cerrado.
2. Tomamos en R^2 la topología que tiene por base la familia \beta=\{B_y=R\times\{y\};y\in R\}. Entonces todo elemento de B_y interseca a A, concretamente, el punto (0,y)\in B_y\cap A.

Topologías en red

Estamos tan acostumbrados a vivir rodeados de tecnología (desde que nos levantamos hasta que nos acostamos) que los adelantos nos llegan a la mano de manera fácil y casi sin darnos cuenta. La mayoría de las veces ni siguiera nos planteamos qué hay detrás de cada uno de estos inventos y qué motivos hacen que funcionen de una manera y no de otra.

Navegando por la red, me he preguntado ¿está la topología presente en alguno de mis movimientos por este mundo virtual? Pues la respuesta es sí. Se tratan de las topologías de red.

Las LAN (Local Area Network) son redes de datos de alta velocidad y bajo nivel de errores que abarcan un área geográfica relativamente pequeña y que conectan estaciones de trabajo, dispositivos periféricos, terminales y otros dispositivos que se encuentran en un mismo edificio u otras áreas geográficas limitadas.

En este caso, el término topología puede definirse como el "estudio de la ubicación" donde los "mapas" de nodos (puntos) y los enlaces (líneas) forman patrones. Algunas de las topologías que se utilizan comúnmente en Networking (estaciones de trabajo) son de bus, de anillo, en estrella, en estrella extendida, jerárquica y en malla.

Vamos a verlas desde un punto de vista físico (describe el esquema para el cableado de los dispositivos físicos), matemático (M) y desde un punto de vista lógico(L) (para saber cómo circula la información a través de una red) y mostrando ventajas (V) y desventajas (D).

1. Topología de bus. (M) Tiene todos sus nodos conectados directamente a un enlace y no hay conexión entre ellos. (L) Todos los dispositivos de la red ven todas las señales de todos los demás dispositivos. (V) Toda la información se dirige a todos los dispositivos (D) Es común que se produzcan problemas de tráfico de datos.
2. Topología de anillo. (M) Tiene un anillo cerrado formado por nodos y enlaces, en el que cada nodo está conectado con sólo dos nodos adyacentes. (L) Para que la información pueda circular, cada estación debe transferirla información a la estación adyacente.
3. Topología de estrella. (M) Tiene un nodo central desde el que se irradian todos los enlaces hacia los demás nodos y no permite otros enlaces. (L) El flujo de toda la información pasa a través de un solo dispositivo. Es las más usada en las LAN. (V) Todos los nodos se comunican entre sí. Utilidad en zonas de seguridad o de acceso restringido. (D) Si el nodo central falla, toda la red se desconecta.
4. Topología en estrella extendida. (M) Cada nodo que se conecta con el nodo central también es elcentro de otra estrella. (L) El objetivo es que la información se mantenga local. Esta es la forma de conexión es utilizada por el sistema telefónico. (V) El cableado es más corto. (D) Limita la cantidad de dispositivos que se deben interconectar con cualquier nodo central.
5. Topología jerárquica. (M) Tiene un nodo de enlace troncal desde el que se ramifican los demás nodos.
6. Topología en malla. (M) Cada nodo se enlaza directamente con los demás nodos. (L) Su comportamiento depende enormemente de los dispositivos utilizados. (V) Si falla un enlace, la información circula a través de enlaces alternativos para llegar a su destino. (D) Funciona con pocos de nodos, porque sino la cantidad de enlaces y conexiones es abrumadora.

Podemos relacionar los dibujos anteriores con el problema de los puentes de Konigsberg.

La descripción de la topología de la red de la Universidad de Granada se encuentra en: http://www.ugr.es/Informatica/redes/topo.htm

(Por Cristina Martín)

Y la capital de España es Madrid

Una de las consecuencias del ejercicio escrito que se hizo en clase el viernes pasado es que aparece un problema que surge muchas veces en clase: ¿qué es un razonamiento? Al menos podemos decir qué no es un razonamiento.

Pongo un ejemplo: ante la pregunta de si cierto conjunto es o no abierto, se responde "El conjunto A es abierto ya que para cada punto suyo podemos encontrar un entorno que queda dentro del conjunto".

En otro ejercicio para probar que el interior de un conjunto A es vacío se escribe "Si tomamos x perteneciente a A no existe ningún elemento de la base, es decir, ninguna bola, contenida en A, en la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, luego el interior es vacío".

Estos dos ejemplos son una muestra de lo que no es un razonamiento. En el primer ejemplo, el alumno escribe la caracterización de conjunto abierto mediante entornos; en el segundo, uno quiere probar que el interior el vacío, y entonces escribe lo que no es haber puntos interiores.

Una forma de saber si es o no un razonamiento, es la siguiente: siguiendo el primer ejemplo anterior, supongamos que nos dan un espacio topológico, un subconjunto suyo y queremos saber si es abierto o no. Después del intento de solución que hayamos hecho nos preguntamos ¿dónde hemos usado que el espacio topológico que nos dan?; si cambiamos de topología manteniendo el mismo conjunto, ¿podemos usar el mismo argumento? En definitiva, en algún momento del razonamiento tenemos que usar el espacio y el conjunto A, la forma que están definidos, y sus propias características.

Y para acabar, pongo otro ejemplo de "no razonamiento" y que da título a esta entrada. Ante una pregunta, se responde con una proposición verdadera, pero que no tiene nada que ver con la pregunta realizada. Un ejemplo simple sería "¿qué es un conjunto cerrado?" "en la topología discreta todos los conjuntos son cerrados". La "respuesta" es una proposición verdadera, pero no responde a la pregunta realizada. Es como si hubiéramos dicho "La capital de España es Madrid" ¿y?