Componentes conexas y topologías inducidas

Con las componentes conexas podemos plantear varias preguntas relacionadas con las formas de construir espacios topológicos. Por ejemplo, se sabe que en un producto topológico $X\times Y$, la componente conexa de $(x,y)$ es
$C_x\times C_y'$.

¿Y con las topologías inducidas? Supongamos que $X$ es un espacio topológico, $A\subset X$ y $a\in A$. La pregunta es qué relación hay entre la componente conexa $C_a$ de $a$ en $X$ y la componente conexa de $a$ en $(A,\tau_{|A})$, $C_a^A$. Como $C_a^A$ es un conjunto conexo en $X$ que contiene a $a$, entonces $C_a^A\subset C_a$. Es natural preguntarse si $C_a^A=C_a\cap A$.

En $\mathbb{R}$ vemos ejemplos que esto no es cierto. Por ejemplo, si $A=(0,2)\cup (3,4)$ y tomamos $a=1$. Entonces
$C_a^A=(0,2)$ y $C_a=\mathbb{R}$. Por tanto, $C_a\cap A=A=(0,2)\cup (3,4)$.

Si $A$ es conexo, $C_a^A=A$ y $C_a\supset A$. Dejo aquí si es posible hacer un 'teorema' diciendo cuándo se tiene la igualdad $C_a^A=C_a\cap A$.