Partición por conexos y componentes conexas

Si dado un espacio topológico $X$ tenemos una partición $\{A_i;i\in I\}$ del mismo por conjuntos conexos, estos no tienen porqué ser las componentes conexas. El ejemplo más sencillo de esto es que en cualquier espacio topológico (sea o no conexo), la partición $\{\{x\};x\in X\}$ es una partición por conexos.

Tenemos un resultado de clase que nos dice que, si además los conjuntos $A_i$ son abiertos, entonces sí coinciden con las componentes conexas.

Con esta entrada lo que pregunto es por ejemplos de espacios topológicos de forma que la partición de las componentes conexas no esté formada por conjuntos abiertos. Y también, si es posible encontrar estos ejemplos como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual.

Un ejemplo que se me ocurre es el siguiente. En la topología de Sorgenfrey, los puntos son las componentes conexas. Sin embargo, el conjunto formado por un punto no es abierto.