Separando mediante una función (II)

Siguiendo con la entrada de ayer, es conveniente aclarar dos cosas.

Primero es que el hecho de poder 'separar' el conjunto en dos 'partes' no quiere decir que tenga exactamente dos  componentes conexas, sino, como se dijo ayer, que el conjunto no es conexo, y por tanto, tiene al menos dos componentes conexas. Así por ejemplo, si $X$ es el conjunto de $\mathbb{R}^2$ dado por tres puntos, a saber, $X=\{(0,-2),(0,-1),(0,1)\}$, la recta $y=0$ separa el conjunto, es decir,
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
El conjunto $X\cap f^{-1}((-\infty,0))$ no es conexo, aunque sí lo es $X\cap f^{-1}((0,\infty))$. En verdad, los tres puntos constituyen las componentes conexas, es decir, hay tres.

La segunda observación es que un conjunto puede no ser conexo, y puede que no haya una función $f$ que pueda separar el mismo. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ no es conexo en $\mathbb{R}^2$, y yo al menos no soy capaz de encontrar una función continua que 'separe' el conjunto en dos trozos.

Finalmente, y enlazando con esto último, os dejo como ejercicio encontrar un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que tenga exactamente dos componentes conexas y no sea claro encontrar una función que separe el conjunto en dos trozos (en el ejemplo anterior, el conjunto tiene infinitas componentes conexas).