Separando mediante una función

A veces, la prueba de que un conjunto de $\mathbb{R}^n$ no es conexo es conseguir "separarlo" de algún modo. Un ejemplo podría ser el siguiente. En $\mathbb{R}^2$, tomamos como conjunto $X=\{(x,y);y=1\}\cup \{(0,-1)\}$. Este conjunto no es conexo, pues
$$X=(X\cap\{(x,y);y<0\})\cup (X\cap \{(x,y);y>0\})$$
y cada uno de los dos conjuntos anteriores son abiertos de $X$ y no triviales. Por supuesto, es una partición de $X$ ya que $X$ no tiene puntos con $y=0$.

Se puede pensar que lo que se ha hecho con $X$ es probar que el plano $y=0$ lo separa. Definimos la función en $\mathbb{R}^2$ dada por $f(x,y)=0$, a cual es continua. El grafo de la función es el plano $P$ de ecuación $y=0$, el cual separa $X$ en el sentido que $X$ no corta el grafo, y hay puntos de $X$ con $f$ positiva y punto de $X$ con $f$ negativa. Por tanto, una partición por abiertos y no trivial de $X$ es
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
Igual que se ha hecho con $f(x,y)=0$, se puede considerar otras funciones para otros conjuntos. Por ejemplo, tomamos en $\mathbb{R}^3$ el conjunto $X=\{(0,0)\}\cup \{(x,y);y=2\}$. Este conjunto no es conexo porque  la función $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ separa $X$ del siguiente modo:
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,1)))\cup (X\cap f^{-1}((1,\infty))).$$
O dicho con palabras, lo de dentro de la bola de radio 1 y lo de fuera de dicha bola.