Continuando con la entrada anterior, pongo otro ejemplo de bola 'no redonda'. Consideramos el siguiente subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^2$: \begin{eqnarray*} & & \{(0,0)\}\cup ([1,\infty)\times\{0\})\cup ((-\infty,-1]\times\{0\})\\
& & \cup (\{0\}\times (-\infty,-1])\cup (\{0\}\times [1,\infty)).
\end{eqnarray*} En $X$ tomamos la distancia usual $d$ de $\mathbb{R}^2$ y el espacio métrico es $(X,d)$.
La bola que cogemos es $B_1((0,0))$. Esta bola está formada sólo por el punto $(0,0)$ y su frontera es el conjunto vacío. Sin embargo el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;d((x,y),(0,0))=1\}$ es $\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$.
Finalmente la adherencia de la bola coincide con su interior.
Profesor, ¿sería tan amable de explicar porqué el conjunto frontera es vacío?
ResponderEliminarSea $A=B_1(0,0)$. El (0,0) no es frontera de A, porque la bola $B_1(0,0)$ no corta a X-A. Y si tomas un punto p que no sea de A, la bola $B_1(p)$ no interseca a A.
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