Construyendo bases de entornos

Para las dos topologías de la entrada anterior, vamos a hallar una base de entornos. Recordamos las dos topologías definidas en   ${\mathbb N}$:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$ $$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$
Para hallar una base de entornos, precisamos algo más. Un punto en un espacio topológico tiene muchas bases de entornos: por ejemplo, dada una, le añadimos un entorno cualquiera del punto, resultando una base de entornos. Sin embargo, la nueva base de entornos ha incrementado su tamaño. Por tanto, lo que buscamos es una base de entornos con un número 'pequeño' de elementos.

Una forma 'standard' de construir bases de entornos de un punto $x\in X$ es considerar todos los abiertos que contiene al punto, y que denotamos por $\tau_x$:  $\tau_x=\{O\in\tau: x\in O\}$. Y a partir de ésta, intentar quitar elementos, si fuera posible. Veamos en nuestro caso.

Para la topología $\tau_1$, sea $m\in {\mathbb N}$. Es claro que $\tau_m^1=\{A_n:n\geq m\}$. Da la casualidad que cada uno de estos abiertos $A_n$ está incluido en otro $A_k$ si $k\geq n$. Por tanto, y es importante, existe un  abierto que es el más pequeño (respecto de la inclusión). Este abierto es justamente $A_m$. Por tanto, una base de entornos de $m$ es $\beta_m^1=\{A_m\}$.

Para la topología $\tau_2$, el razonamiento es análogo. Ahora $\tau_m^2=\{B_n: n\leq m\}$ y hay uno de estos abiertos más pequeño, el $B_m$. Por tanto, $\beta_m^2=\{B_m\}$.

Tener, como en este caso, bases de entornos ¡con sólo un elemento! facilita el trabajo en el espacio topológico. Por ejemplo, para hallar el interior de un conjunto $C$, y usando la caracterización por bases de entornos, entonces $m\in C$ es interior si $A_m\subset C$ (para $\tau_1)$ y si $B_m\subset C$ (para $\tau_2$). Cogiendo $C=\{3,4\}$ como en la entrada anterior, es evidente que ni $A_m$ ni $B_m$ están incluidos en $C$, luego el interior es el conjunto vacío. Del mismo modo se puede razonar para el exterior de $C$, ya que el exterior de $C$ es el interior del complementario.