Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo (II)

Volvemos a la entrada anterior y hallamos  el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ en $({\mathbb R}^2,\tau_u)$ usando sucesiones.

Probamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío. Por contradicción, supongamos que $(x,0)\in int(A)$. Por la caracterización mediante sucesiones, toda sucesión que converja a $(x,0)$, a partir de un cierto lugar de la sucesión, los elementos deben pertenecer a $A$. Tomamos la sucesión $\{(x,1/n)\}$. Es evidente que $\{(x,1/n)\}\rightarrow (x,0)$, pero ningún elemento de la sucesión está en $A$ ya que las ordenadas, a saber, $1/n$, nunca son cero.

Para la adherencia de $A$, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$, pero $y\not=0$. Vamos a llegar a una contradicción. Por sucesiones, debe existir una sucesión en $A$ que converja a $(x,y)$. Sea, pues, $\{(x_n,0)\}\rightarrow (x,y)$: observemos que las ordenadas de los elementos de la sucesión deben ser cero, pues el punto debe estar en $A$. Sabemos que una sucesión en ${\mathbb R}^n$ converge a un punto si y sólo si convergen las sucesiones de las coordenadas. Por tanto, $\{x_n\}\rightarrow x$ e $\{0\}\rightarrow y$. Pero de esta última convergencia se deduce que $y=0$: contradicción.

Os dejo que comparéis las dos demostraciones que se han hecho para este ejercicio, es decir, la de esta entrada y la anterior, y veáis cuál es más 'sencilla'.