Probando que varias topologías son las mismas

Sabemos que hay varias formas de definir un espacio topológico, por ejemplo, aparte de la topología, mediante bases de abiertos o bases de entornos. Vamos a poner una muestra con la topología del punto incluido.

Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto fijo. Si $x\in X$, denotamos $O_x=\{p,x\}$. Consideramos las siguientes tres topologías:

1.  $\tau_1=\{O\subset X: p\in O\}\cup\{\emptyset\}$
2.  $\tau_2$ es la topología que tiene por base $\beta_2=\{O_x:x\in X\}$.
3.  $\tau_3$ es la topología que tiene por base de entornos para cada punto $x$, $\beta_x^3=\{O_x\}$.

Veamos que las tres topologías son iguales. Hay varias maneras de hacerlo porque a partir de la topología, o bases, o bases de entornos, se puede calcular el resto de elementos topológicos.  Por ejemplo, podemos hallar bases de entornos en cada una de las topologías, y usar la equivalencia de topologías mediante el criterio de Hausdorff. Lo que vamos a hacer en este caso es más aún: vamos a hallar una misma base de entornos en las tres topologías, y por tanto, las tres coinciden.

 Para cualquier  topología $\tau$, sabemos que una base de entornos de $x$ es la familia de todos los abiertos que contienen a $x$. Tomamos $\tau_1$. Entonces $\beta_x^1=\{O\in\tau: x\in O\}$, es decir, $\beta_x^1=\{O\subset X: p,x\in O\}$. Pero es evidente que de entre todos estos conjuntos $O$ que satisfacen que contienen a $p$ y a $x$, hay uno que es el más pequeño, y es claramente $O_x=\{p,x\}$. Por tanto, una base de entornos de $x$ para la topología $\tau_1$ es justamente $\beta_x^3$, es decir, coincide con la que define la topología $\tau_3$.

Para la topología $\tau_2$ (y sin calcular la topología $\tau_2$, es decir, la familia de todos los abiertos), hallamos una base de entornos usando un resultado que nos dice cómo se calcula una base de entornos a partir de una base de abiertos: una base de entornos de $x$ es la familia de elementos de $\beta_2$ que contienen a $x$. Por tanto, $$\beta_x^2=\{B\in\beta_2: x\in B\}=\{O_y:x\in O_y\}.$$ Ahora bien, dicho conjunto $O_y$ siempre contiene a $p$ y a $x$, por tanto, el conjunto $O_x$ es el más pequeño que hay entre todos ellos, y por tanto, forma base de entornos, es decir, $\beta_x^2=\{O_x\}$, que es de nuevo la base de entornos de la topología $\tau_3$.

Por tanto, al encontrar una misma base de entornos para las tres topologías, el resultado de unicidad prueba que las topologías coinciden.