Construyendo bases

Consideramos de nuevo ahora la topología  definida  en   ${\mathbb N}$:
$$\tau=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$Vamos a calcular una base de la topología. De nuevo, lo que estamos preguntando es por una base que tenga 'pocos'  elementos. La base más grande (en número de elementos) es la propia topología $\tau$. Sea ahora una base $\beta$ una base de nuestra topología $\tau$.

Tomamos un abierto $A_n$. Sabemos que si $x\in A_n$, entonces existe un elemento $B\in\beta$ tal que $x\in B\subset A_n$. Elegimos como elemento $x$ el número natural $n\in {\mathbb N}$. Sea $B\in\beta$ tal que $n\in B\subset A_n$. Como $B$ es un abierto, entonces o es $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o un elemento de la forma $A_m$, con $m\in {\mathbb N}$. Es evidente que no puede ser el conjunto vacío ni ${\mathbb N}$. Por tanto, $n\in A_m\subset A_n$. Como $n\in A_m$, entonces $n\leq m$. Por otro lado, como $A_m\subset A_n$, entonces $$\{1,2,\ldots,m\}\subset\{1,2,\ldots,n\}.$$ Por tanto $m\leq n$. En particular, $n=m$. Esto prueba que $B$ tiene que ser $A_n$.

Como esto se ha hecho para todo $n\in {\mathbb N}$, entonces $\{A_n:n\in {\mathbb N}\}\subset\beta$. Esto quiere decir que $\beta$ contiene al menos $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$. Como conclusión, las únicas bases de este espacio topológico son $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$, y añadir $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o toda la topología. Por tanto, podemos decir que, esencialmente,  la única base es la propia topología.