En la entrada anterior, aparecía la topología trivial como ejemplo de un espacio topológico que era regular pero no Haussdorff. Pregunta: alguien podría poner otro ejemplo.
Otra pregunta: ¿y un espacio que no fuera ni regular ni T_1?
Más preguntas: aparte de los que se han explicado en clase, buscar un ejemplo de un espacio normal pero no regular; y de un espacio que sea regular pero no normal.
Hoy he hablado sobre el siguiente libro:
Counterexamples in Topology, de Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr. Dover Publications, 1995. Esta edición es una nueva de otra anterior. Sorprendentemente (para mí), el propio libro tiene una entrada en la Wikipedia, la cual de por sí es interesante de leer. Véase aquí.
El resumen del libro es el siguiente: "Over 140 examples, preceded by a succinct exposition of general topology and basic terminology. Each example treated as a whole. Over 25 Venn diagrams and charts summarize properties of the examples, while discussions of general methods of construction and change give readers insight into constructing counterexamples. Includes problems and exercises, correlated with examples."
Un ejemplo de espacio topológico que no sea regular ni satisfaga T1 creo que es (R,tu)
ResponderEliminarya que Bx= {(-infinito,x]} es la más pequeña y no es una base de cerrados => no es regular. Además no es T1 por que todo punto no es cerrado. Veamos un ejemplo, en el que el complementario de un punto no es un abierto:
X\5 = (-infinito,5)U(5,infinito) no es abierto porque no es unión de abiertos ((5,infinito) no es abierto)
Un espcio que sea regular pero no normal podría ser X= {a,b,c,d} con T = {vacío,X,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}
ResponderEliminar(los cerrados coinciden con los abiertos)
Es normal, porque no hay dos cerrados disjuntos, salvo el vacío y otro cualquiera, por tanto tomamos como abiertos disjuntos que los contienen el propio vacío, y el total.
Pero no es regular, porque si tomamos el cerrado F={a,b,c}, los únicos abiertos que lo contienen son él mismo y el total, pero ambos contienen al punto a, por lo que no podemos encontrar un entorno de este punto, disjunto con el abierto citado.