Convergencia de sucesiones en la topología a derechas

Sea $R$ con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $x=-80$, ya que para el entorno de la base de entornos de $x$, esto es, $U=[-80,\infty)$, todos los elementos de la sucesión pertenecen a $U$.

En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: $\{x_n\}\rightarrow x$ si y sólo si, a partir de un cierto lugar, $x\leq x_n$.

Cambiemos de topología en $R$ y consideremos $T$ la que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in R$. Una base de entornos de x es $\beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}$. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface $x\leq x_n$, entonces converge a $x$. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión $\{-1/n\}$ converge a $0$, pues dado un entorno $U=(-1/m,\infty)$, si $n\geq m$, entonces $1/n\in U$.

Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.

Caminos y conexión

Juntando conexión, el teorema del valor medio y el concepto de camino, podemos probar lo que vemos en la calle. Me explico. En el espacio R^3, consideramos la esfera unida S^2 y los puntos $p=(0,0,0$) y $q=(0,0,2)$. Sea
$\alpha:[0,1]\rightarrow R^3$ un camino que una $p$ con $q$. Queremos probar que la curva $\alpha$ debe intersecar la esfera $S^2$ (cosa que se "ve" claramente).

Consideramos$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ las funciones coordenadas del camino y definamos la función $f:[0,1]\rightarrow R$ dada por $f(t)=\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$. Esta aplicación es continua. Veamos qué ocurre en los extremos del intervalo. Así, $f(0)=|p|^2=0$ y $f(1)=|q|^2=4$. Ya que $[0,1]$ es conexo, por el teorema del valor medio, existe
$t_0\in [0,1]$ tal que $f(t_0)=1$. Esto quiere decir que $|\alpha(t_0)|^2=1$, es decir, $\alpha(t_0)\in S^2$.

¿Qué prefieres, conexo o arcoconexo?

Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.

Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.

Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz importante a la manera de trabajar para probar si un espacio es conexo a demostrar que es arcoconexo. En el primer caso, hay que probar que "no existe una partición por abiertos no trivial del espacio", mientras que para demostrar que el espacio es arcoconexo, hay que "hallar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio". En éste caso, el esfuerzo es "encontrar" dicho camino, es decir, hay que imaginarse, de un modo u otro, cómo puede ser ese camino, definirlo, y probar que, efectivamente, es un arco.

Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.

Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.

1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.

2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)

Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!

Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.