Un blog curioso de topología

Este blog sigue el "ritmo" de las clases. Esta es una de las característica que tiene: el hecho de ser "diario" de la clase hace que con la finalización de las clases, apenas tengo ideas para publicar. También porque hay exámenes, lo que hace que estemos más pendientes de otras cosas.

Esta entrada ha surgido porque paseando por la red, como se dice ahora, me he topado con un blog de topología. Se llama Skecthes of Topology y su dirección es:

http://sketchesoftopology.wordpress.com/

Bueno, como nuestro blog no es de topología (es de la asignatura de Topología I), los contenidos del blog que sugiero están muy, muy por encima de nuestras necesidades. Pero lo traigo aquí por las bellas imágenes que tiene. Os recomiendo que os deis una vuelta, aunque no os enteréis de mucho.

(Os recuerdo de otro blog de topología, y de más cosas: Juegos topológicos. Tenéis el enlace a la derecha del blog).

Se puede usar el concepto de saturación

Con ello me refiero que todo concepto topológico en el espacio cociente se puede escribir en términos de conjuntos saturados, o de saturación. A veces es mejor (o peor) usarlo para probar ciertos resultados. Voy a poner un ejemplo sencillo de cómo se usa.

La compacidad de un cociente se puede expresar en términos de conjuntos saturados. Exactamente, un espacio cociente X/R es compacto si de todo recubrimiento por abiertos saturados de X, existe un subrecubrimiento finito. Recordar que si X es compacto, entonces X/R también lo es, pero hay espacio cocientes que son compactos, si serlo X. El ejemplo que dijimos en clase fue el siguiente.

Sea X=R con la relación $xRy$ si su diferencia es un número entero. Veamos que el cociente X/R es compacto usando el concepto de saturado. Sea $\{O_i;i\in I\}$ una familia de abiertos saturados de R y que también sea un recubrimiento de R. En particular, es un recubrimiento del intervalo [0,1]. Como es compacto, existe un recubrimiento finito: $[0,1]\subset O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$. Ahora usamos los dos siguientes hechos sobre la saturación R[A] de un conjunto A:

1. Si $A\subset B$ entonces $R[A]\subset R[B]$.

2.$R[A\cup B]= R[A]\cup R[B]$.

En el caso anterior, R[0,1]=R. Por tanto, usando las dos propiedades anteriores, se tiene $R\subset R[ O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}]=R[O_{i_1}]\cup\ldots\cup R[O_{i_n}]=O_{i_1}\cup\ldots\cup O_{i_n}$, acabando la demostración.

Ligaduras, dimensiones y cocientes

Quiero hacer la siguiente observación sobre algunos espacios cocientes que ya hemos estudiado. La idea es que cuando se hace cociente de $R^n$ con una relación de equivalencia que viene dada por una "ecuación", parece que el espacio cociente tiene una "dimensión" que es n-(ligaduras). Me explico con los siguientes ejemplos (la palabra 'dimensión' la uso sin dar una definición, pero intuitivamente sabemos más o menos qué significa):

1. En R, la relación $x_1-x_2 \in Z$ da como cociente $S^1$. Aquí $R$ tiene dimensión 1, y $Z$ tiene dimensión 0, al ser un espacio discreto. Y $S^1$ tiene dimensión 1 al ser una curva. Aquí sería $1-0=1$.

2. En $R^2$ la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1-x_2 \in Z, y_1-y_2\in Z$. El cociente es un toro, que al ser una superficie tiene dimensión 2. Por otro lado $ZxZ$ es un conjunto discreto, luego tiene dimensión cero. Aquí sí funciona 2-0=2.
3. En $R^2$ se define la relación $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1=x_2$. El espacio cociente es $R.$ Como la ligadura $x=x'$ es una recta en $R^2$, sería dimensión 1. Por tanto vale de nuevo la relación 2-1=1.

3. En $R^3$, se toma $pRq$ si $p=q$. Se probó que el espacio cociente es $[0,\infty)$. La ligadura $p=q$ define una superficie, por tanto, sería dimensión 2. De nuevo funciona la "fórmula": $3-2=1$.

4. En $R^2$, se considera $(x_1,y_1)R(x_2,y_2 )$ si $x_1^2-y_1={x_2}^2-y_2$. Se vio que el cociente es $R$. La ligadura define una parábola, que tiene dimensión 1, al ser una curva. Por tanto, de nuevo sigue siendo cierta la "fórmula": 2-1=1.

¿Qué opináis? Podéis seguir poniendo ejemplos.

Dibujos de planos proyectivos

Ya he afirmado hoy que no es posible encontrar un objeto en el espacio euclídeo de dimensión R^3 que sea homeomorfo al plano proyectivo. Se dice que el plano proyectivo no se puede embeber en el espacio, es decir, no existe una aplicación $\phi:RP^2\rightarrow R^3$ que sea un embebimiento: $\phi:RP^2\rightarrow \phi(RP^2)$ es un homeomorfismo. El "objeto" de R^3 sería $\phi(RP^2)$.

Sin embargo, y como pasaba con la botella de Klein, existen conjuntos que son "casi" el plano proyectivo. Se dice entonces que el plano proyectivo está inmerso en $R^3$. Dije también que en internet podéis encontrar muchos dibujos de esos conjuntos. Os pongo algunos.

También os recomiendo las siguientes páginas webs:
http://ochoa.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/topplan.html
http://mathworld.wolfram.com/BoySurface.html