Ya hemos comentado en clase cierta confusión que se puede generar al usar los conceptos de 'abierto' y 'cerrado'. Los conjuntos abiertos son los elementos de la topología y los conjuntos cerrados son los conjuntos complementarios de los abiertos. Sin embargo conjunto abierto NO es lo contrario de conjunto cerrado, ya que no tiene sentido hablar de 'contrario'.
Del mismo modo, un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez. Por ejemplo en la topología discreta y en la topología trivial el conjunto de los abiertos coincide con el de los cerrados.
En la topología del punto incluido es evidente que un conjunto no puede ser abierto y cerrado a la vez ya que por ser abierto tendría que contener al punto p, y por ser cerrado, su complementario, que es abierto, también lo debería tener como elemento: imposible.
Os pongo dos ejemplos para que penséis esta cuestión. En $X=\{a,b,c,d\}$ se definen dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ (¡comprobar!) dadas por $\tau_1=\{\emptyset, X, \{a,b\},\{c,d\}\}$ y $\tau_2=\{\emptyset,X,\{a,b\},\{b,d\},\{a,b,d\},\{c\},\{a,b,c\},\{b,c,d\}\}$
Vamos a ver si T1 y T2 son topología:
ResponderEliminara) T1 es topología??
-Que el vacío y el total están en T1, es evidente.
-Al hacer la unión arbitraria de elementos de T1, nos sale X o {a,b} o {c,d}, que también son elementos de la familia T1, por tanto esto también se cumple.
-Al hacer la intersección de dos cualquiera, nos sale el vacío o {a,b} o {c,d}, que también pertencen a la topología, por la tanto, llegamos a la conclusión de que T1 ES TOPOLOGÍA.
b)T2 es topología??
Al intersecar {a,b,c}con {b,c,d} nos sale {b,c} que no pertenece a T2, por lo tanto T2 NO ES TOPOLOGÍA.
En cuanto a los abiertos y cerrados, en T1, los abiertos y cerrados coinciden.En T2, al no ser topología no tiene sentido hablar de abiertos y cerrados.
pittoo
ResponderEliminar¿Cómo son los cerrados en la topología de Sorgenfrey?
ResponderEliminarLos cerrados no se pueden describir completamente, entre otras cosas, porque no se saben explícitamente los abiertos de la topología de Sorgenfrey (de éstos sólo sabemos que es unión de intervalos de la forma [a,b)).
ResponderEliminarLo mismo que TODO lo anterior sucede con la topología usual de R.
En T2 falta {b}, {b,c}
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