El plano de Moore es un espacio topológico definido sobre
X=R\times [0,\infty). La topología se da mediante base de entornos. Para los puntos de L=R\times (0,\infty) son las bolas euclídeas centradas en cada punto y contenidas en X. Para los puntos (x,0) de R\times\{0\} son las bolas de X tangentes a L en (x,0) junto con el punto (x,0).El ejercicio es probar que esto define una topología en X.
Para probar que dichas bolas definen una topología en X tenemos que ver que la base dada por dichas bolas da lugar a una topología en X ¿no?, creo que sería:
ResponderEliminar(1) La unión de todos los elementos de la base nos da el total:
En un dibujo se ve claramente, como el que hemos hecho hoy en clase, al unir todas las bolas de L y de Rx{0} nos da Rx[0,infinito) que es el total.
(2) Si B1 y B2 son elementos de la base, y x un punto que pertenece a la intersección de B1 y B2, ¿existe B3 (otro elemento de la base) tal que x pertenece a B3 y este a su vez esté contenido en la interseccion de B1 con B2?
La respuesta es si, ya que:
-Si B1 y B2 son del tipo Rx{0} y x pertenece a la intersección, existe otra bola B3, del tipo Rx{0} tal que x pertenece a dicha bola y esta está contenida en la intersección.Es posible que B3 sea B1 o B2.
-Si B1 y B2 son del tipo L,si tomamos un punto de la intersección, y en él centramos otra bola B3 del tipo L, tenemos que se cumple de nuevo la propiedad.
-Si B1 es del tipo Rx{0} y B2 del tipo L, tenemos de nuevo que al tomar un punto de la intersecion y centrar en el una bola B3 del tipo L, se vuelve a cumplir la propiedad, x pertenece a B3 y esta está contenida en la intersección.
Por lo tanto la base dada por dichas bolas define una topologia en X.
Creo que el razonamiento es incorrecto, ya que el enunciado nos dice que estas bolas forman una base de ENTORNOS,no de abiertos.
ResponderEliminarMediante el razonamiento dado se prueba que considerando estas bolas como una base de abiertos existe una única topología generada por dichas bolas, pero considero que el ejercicio nos pide demostrar que el conjunto de estas bolas satisfacen las tres propiedades que ha de satisfacer un conjunto de entornos para que exista una única topología cuya base de entornos sea dicho conjunto.
Es cierto me he confundido, se me ha pasado lo de entornos, entonces ¿sería así?:
ResponderEliminarSea X=Rx[0,infinito) y b c P(X) se han de cumplir las siguientes propiedades para que exista una topología T en X tal que b es base de entornos de x (x un punto).
(1) x pertence a V para todo V perteneciente a b.
Si tomamos un punto de L=Rx(0,infinito), pertenece a V para todo V perteneciente a b, ya que V en L es una bola euclídea centrada en el punto y contenida en X.
Si tomamos un punto de Rx{0}, pertenece a V para todo V perteneciente a b, ya que V en Rx{0} es una bola de X tangente a L en (x,0) junto con el punto (x,0).
En un dibujo se ve claro, no se si lo he expresado bien.
(2) Si V1 y V2 pertenecen a b, existe V3 perteneciente a b tal que V3 c V1 intersección V2.
Tenemos V1 y V2 elementos de b y por tanto entornos de un punto x, quiere decir que existe otro elemento de la base, entorno de x, V3 que pertenece a la interseccion.
(3)Esta propiedad no la entiendo muy bien, quiero decir que no se como demostrarla en este caso.
En la tercera propiedad si coges un V en B entonces siempre existe una bola dentro de la primera V2 tal que para toda punto de esta exisxte una bola centrada en el punto que está contenida en V. Solo tienes que tener cuidado al coger los radios de las bolas.
ResponderEliminarvale gracias
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