miércoles, 7 de octubre de 2009

Topología usual / topología de Sorgenfrey

Estas topología son diferentes. En verdad, la topología usual $\tau_u$ está incluida en $\tau_S$. Llamamos $\beta=\{(x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ y $\gamma=\{[x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ las bases de $\tau_u$ y $\tau_S$.

Un elemento de $\beta$ es abierto en $\tau_S$: sea $(a,b)$ y $x\in(a,b)$. Entonces $x\in [\frac{a+x}{2},\frac{b+x}{2})\subset(a,b).$ Si los elementos de $\beta$ están en $\tau_S$, las uniones arbitrarias de $\beta$ (es decir, $\tau_u$) son abiertos en $\tau_S$, por ser unión de abiertos.

El conjunto $[0,1)$ pertenece a $\tau_S$, pero no a $\tau_u$, pues tendría que existir $a$ y$ b$ tales que $0\in (a,b)\subset [0,1).$ Del hecho $0\in (a,b)$ se tiene $a< 0 < b$ y de la inclusión $(a,b)\subset [0,1]$ que $0\leq a$: contradicción.

(por R. Ruiz)

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