En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ podemos considerar familias de conjuntos "parecidas" a la base usual de la topología usual. Por ejemplo, podemos tomar:
$\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in N\}$ donde N es el conjunto de los números naturales.
$\beta_2=\{(a,b); a < b, a,b\in Z\}$ donde Z es el conjunto de los números enteros.
$\beta_3=\{(a,b); a < b, a,b\in Q\}$ donde Q es el conjunto de los números racionales.
$\beta_4=\{(a,b); a < b, a,b\in I\}$ donde I es el conjunto de los números irracionales.
$\beta_5=\{(a,b); a < b, a\in Q, b\in Z\}$.
Y así sucesivamente. Dos preguntas hago:
1. ¿las familias anteriores son base de alguna topología?
2. ¿las familias anteriores son base de la topología usual de R?
1.¿Las familias anteriores son bases de alguna topología? Voy hacerlo para beta 1 y beta 2.
ResponderEliminarEn el caso de beta 1:
No se cumple esto, porque nos falla lo primero que tenemos que demostrar y es que R tienes que ser unión de elementos de la base, pero a,b pertenecen a los naturales, entonces podemos decir que no es base de alguna topología.
En el caso de beta 2:
Es evidente que R es unión de elementos de la base, ya que ahora a,b pertenecen a los enteros, que van desde -infinito a +infinito y podemos coger a, b tan grande o tan chico muy queramos.
Con respecto a lo segundo que hay que probar para que sea base, si cogemos dos elementos de la base en su intersección siempre va a ver un punto, y su intersección será otro elemento de la base que esté contenido en la intersección de los dos primeros.Por tanto, en este caso, sí que es base de alguna topología.
2.¿Las familias anteriores son base de la topología usual de R?
Con respecto a beta 1, esta claro que no, ya que por la anterior podemos decir que no es base de ninguna topología.
En cuanto a beta 2, si cogemos un abierto concreto de la topología usual, por ejemplo (1/2,3/2), tomamos un x perteneciente a ese abierto, por ejemplo 1, y dentro tenemos que encontrar un elemento de la base beta 2, pero esto no puede ocurrir, por lo tanto, no es base de la topología usual de R.
Estefanía, todo lo anterior, perfecto. Por cierto, no había visto antes la topología generada por beta_2 ¿alguien sabe si tiene "nombre"?
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