Abollando una pelota

Según la RAE, 

abollar (Der. del lat. bŭlla 'burbuja', 'bola').

1. tr. Producir una depresión en una superficie con un golpe o apretándola. 

Cuando cogemos una bola de plastilina y metemos el dedo, formando un bollo, decimos que ambas figuras son homeomorfas. Podemos 'casi' escribir explícitamente el homeomorfismo. Para ello, tomamos el conjunto $$X=\{(x,y,z)\in{\mathbb R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 1\}$$
y abollamos por arriba con el dedo, concretamente, el casquete esférico
$$A=X\cap\{(x,y,z): z\geq \frac{1}{2}\}.$$ Si $B=X\cap\{(x,y,z): z\leq \frac{1}{2}\}$, entonces cambiamos $A$  por su simetría respecto del plano $P$ de ecuación $z=1/2$ y $B$ lo dejamos tal como está. Esta simetría es $\phi(x,y,z)=(x,y,1-z)$ y llamamos $C=\phi(A)$.

Probamos que $X\cong B\cup C$. Definimos $f:X\cup B\cup C$ como
  $$f(x,y,z)=\left\{\begin{array}{ll} (x,y,z) & (x,y,z)\in B\\ (x,y,1-z) & (x,y,z)\in A\end{array}\right.$$
Es evidente que $f$ es biyectiva y que la restricción de $f$ a $B$ y $C$ es continua. Por otro lado, como $B$ y $C$ son cerrados en $X$, se deduce que $f$ es continua. Del mismo modo se prueba que también lo es $f^{-1}$, probando por tanto, que $f$ es un homeomorfismo.