Sobre homeomorfismos y hojas de papel

Numerosos ejemplos de homeomorfismos que hemos construido no son más que las restricciones de otros en espacios más grandes. Sin embargo, cuando hemos definido un homeomorfismo entre la corona circular $\{(x,y):\in{\mathbb R}^2: 1 < x^2+y^2 < 4\}$ y el cilindro ${\mathbb S}^1\times{\mathbb R}$, éste no ha sido la restricción de un homeomorfismo entre ${\mathbb R}^2$ y ${\mathbb R}^3$ ya que estos espacios no son homeomorfos.

Otros homeomorfismos que vemos con los ojos tampoco son restricciones. Así, establecimos un homeomorfismo entre la hoja de papel $X=\{(x,y,z):\in{\mathbb R}^3: z=y^2\}$ y el plano $Y={\mathbb R}^2$ que no era más que a cada punto $(x,y,z)\in X$ lo llevábamos en $(x,y)\in Y$, es decir, $X$ es el grafo de la función $f(x,y)=y^2$ definida en todo ${\mathbb R}^2$. Este homeomorfismo no es la restricción de uno de ${\mathbb R}^3$ a ${\mathbb R}^2$. Podemos verlo en el siguiente vídeo.

Ya indicamos en clases que este homeomorfismo tampoco es el de coger la hoja de papel y 'abrirla', sino el de coger los puntos de la hoja, el conjunto $X$, y dejarlo caer en el plano $Y$, es decir, a cada punto $(x,y,z)$ lo llevamos en $(x,y)$.  Esto lo vemos en el vídeo que adjuntamos.