Un homeomorfismo que no es una afinidad

Continuando con homeomorfismos que no son restricciones de otros, recordamos aquí el que hemos hecho varias veces en clase con un trozo de plastilina, donde en una parte del trozo, metíamos el dedo para deformarlo.  Es evidente que ambos son homeomorfos, pero tenemos que indicar que dicho homeomorfismo no es la restricción de una afinidad $f(x)=Ax+b$ del espacio euclídeo ${\mathbb R}^3$.

Aquí lo mostramos en el vídeo con un trapo. En una parte del trapo hemos levantando una parte, obteniendo otro espacio homeomorfo al inicial. Sin embargo, este homeomorfismo no es la restricción de una afinidad.

Esto se debe a que el homeomorfismo que hemos hecho en el trapo deja 'muchos puntos fijos', todos los que están lejos de la parte en la que hemos empujado con el dedo. Sin embargo, el conjunto de puntos fijos de una afinidad es un subespacio afín, es decir, o es una recta, o es un plano, o es todo el espacio y la aplicación es la identidad. Por ejemplo, si $b=0$, es decir, si $f$ es un isomorfismo, entonces el conjunto de puntos fijos no es más que el subespacio propio del valor propio $\lambda=1$, en particular, es un subespacio vectorial, es decir, una recta vectorial o un plano vectorial. En general, cuando $b\not=0$, entonces el conjunto de puntos fijos es una recta o un plano afín.

Volviendo al caso del trapo, como nuestra aplicación no es la identidad, y los puntos fijos no se encuentra en una recta o en un plano, entonces no es la restricción de una afinidad.