Hemos probado hoy que dos subconjuntos finitos de ${\mathbb R}$, con la topología usual, y con el mismo cardinal, son homeomorfos. Esto se debe a que la topología inducida en un conjunto finito de ${\mathbb R}$ es la topología discreta. El mismo resultado se tiene si cambiamos ${\mathbb R}$ con la topología usual, a un espacio métrico.
Sin embargo, el resultado no es cierto en otros espacios topológicos. Ponemos dos ejemplos, en ambos, conjuntos finitos con el mismo número de elementos.
En el primero consideramos diferentes topologías. Tomamos $X=\{1,2\}$ con la topología del punto incluido $\tau_{in}$ con $p=0$, y $\tau_D$ la topología discreta. Una aplicación biyectiva $f:(X,\tau_D)\rightarrow (X,\tau_{in})$ no lleva abiertos en abiertos, pues si $\in X$ es el punto tal que $f(x)=2$, entonces $\{x\}\in\tau_D$ y $\{2\}\not\in\tau_{in}$. Esto probaría que $f^{-1}$ no es continua.
El segundo ejemplo es un poco diferente. Tomamos ${\mathbb R}$ con la topología del punto incluido $\tau$ para $p=1$. Entonces, con la topología inducida, los conjuntos $X=\{1,2\}$ y $Y=\{3,4\}$ no son homeomorfos. Para $X$, $\tau_{|X}$ es la topología del punto incluido para $p=1$ y $\tau_{|Y}$ es la topología discreta en $Y$. Ahora, el caso es como en el anterior, y no son homeomorfos.
Sin embargo, el resultado no es cierto en otros espacios topológicos. Ponemos dos ejemplos, en ambos, conjuntos finitos con el mismo número de elementos.
En el primero consideramos diferentes topologías. Tomamos $X=\{1,2\}$ con la topología del punto incluido $\tau_{in}$ con $p=0$, y $\tau_D$ la topología discreta. Una aplicación biyectiva $f:(X,\tau_D)\rightarrow (X,\tau_{in})$ no lleva abiertos en abiertos, pues si $\in X$ es el punto tal que $f(x)=2$, entonces $\{x\}\in\tau_D$ y $\{2\}\not\in\tau_{in}$. Esto probaría que $f^{-1}$ no es continua.
El segundo ejemplo es un poco diferente. Tomamos ${\mathbb R}$ con la topología del punto incluido $\tau$ para $p=1$. Entonces, con la topología inducida, los conjuntos $X=\{1,2\}$ y $Y=\{3,4\}$ no son homeomorfos. Para $X$, $\tau_{|X}$ es la topología del punto incluido para $p=1$ y $\tau_{|Y}$ es la topología discreta en $Y$. Ahora, el caso es como en el anterior, y no son homeomorfos.
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