Función 'parte entera'

Desde que estábamos en el instituto, un ejemplo típico de función que no era  continua es la función parte entera $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$, es decir, $$f(x)\in{\mathbb Z}: f(x)\leq x < f(x)+1.$$ Ahora que tenemos el concepto de espacio topológico, lo que tenemos es que la función $f:({\mathbb R},\tau_u)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_u)$ no es continua.

Sin embargo, podemos considerar otras topologías en ${\mathbb R}$. Tomemos la topología de Sorgenfrey $\tau_S$, tanto en el dominio como en el codominio. Para estudiar la continuidad, consideramos la base usual de $\tau_S$, aunque modificada un poco: $$\beta=\{[a,a+r);a\in{\mathbb R}, 0 < r < 1\}.$$ Veamos si $f^{-1}([a,a+r))\in\tau_S$. Observemos que $[a,a+r)$ contiene, a lo más, un único número entero, ya que $0 < r < 1$. Por tanto,
$$f^{-1}([a,a+r))=\left\{\begin{array}{ll} [b,b+1) & b=[a,a+r)\cap{\mathbb Z}\\ \emptyset  & [a,a+r)\cap{\mathbb Z}=\emptyset.\end{array}\right.$$ Esto prueba que la función parte entera es continua de $({\mathbb R},\tau_S)$ en $({\mathbb R},\tau_S)$.