Un homeomorfismo tiene que ser una aplicación biyectiva. Por tanto, no existen homeomorfismos entre espacios topológicos cuyos conjuntos tienen distinto cardinal.
Pero también se puede usar la cardinalidad en otro sentido para decir que dos espacios no son homeomorfos. Así sabemos que si $(X,\tau)\cong (Y,\tau')$, entonces $\tau'=f(\tau)$. Por tanto, y como $f$ es biyectiva, el número de abiertos de $(X,\tau')$ coincide con el de $/Y,\tau')$. Así, si $X=\{1,2,3\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{1\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{1\},\{1,2\}\}$, entonces $(X,\tau)\not\cong (Y,\tau')$ ya que $\tau$ tiene tres elementos y $\tau'$ tiene cuatro.
Otra forma de usar que $f$ es biyectiva es estudiando la cardinalidad de cada conjunto abierto. Así, $({\mathbb R},\tau_D)$ tiene conjuntos abiertos con un elemento, a saber, todo conjunto unitario $\{x\}$, $x\in {\mathbb R}$ es abierto. Si $({\mathbb R},\tau_D)$ fuera homeomorfo a $({\mathbb R},\tau_u)$, entonces habría abiertos formados sólo por un elemento, es decir, $\{x\}$ sería abierto en la topología usual, lo cual no es cierto. Y así, los dos espacios no son homeomorfos.
Otro ejemplo se refiere a dos espacios topológicos que se han construido sobre el conjunto de los números naturales ${\mathbb N}$. Tenemos dos topologías que son las siguientes:$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N},A_n:n\in {\mathbb N}\},$$ $$\tau_2=\{\emptyset,{\mathbb N},B_n:n\in {\mathbb N}\},$$ donde $$A_n=\{1,2,\ldots,n\},\ \ B_n=\{n,n+1,\ldots\}.$$ Nos preguntamos si $({\mathbb N},\tau_1)$ es homeomorfo a $({\mathbb N},\tau_2)$. Tenemos varias formas de probar que no lo son. Pero si atendemos primero a la cardinalidad, observemos que en ambos espacios topológicos, el conjunto es el mismo, a saber, ${\mathbb N}$, luego tiene el mismo cardinal. Por otro lado, observemos también que el cardinal de $\tau_1$ es el mismo que el de $\tau_2$: ambos son numerables. Por tanto, no nos sirve.
Sin embargo, $\tau_1$ tiene sólo un conjunto que es infinito, el propio ${\mathbb N}$. Sin embargo, en $\tau_2$ todos los abiertos son infinitos (excepto $\emptyset$). Por tanto no pueden ser homeomorfos.
Otras forma de probar que no son homeomorfos es usando bases de entornos. Ya se probó que una base de entornos de $n\in {\mathbb N}$ en $\tau_i$ era: $$\beta_n^1=\{A_n\},\ \ \beta_n^2=\{B_n\}.$$ Aquí no podemos razonar por la cardinalidad de las bases, ya que ambas tienen un único elemento. Podríamos pensar que si $f$ es un homeomorfismo entre $({\mathbb N},\tau_1)$ y ${\mathbb N},\tau_2)$, entonces $f(\beta_n^1)$ es base de entornos de $n$ en $({\mathbb N},\tau_2)$ y como $A_n$ es finito, $B_n$ lo tendría que ser: como no lo es, ya habríamos concluido. El error está en que no sabemos que $f(n)$ es $n$.
Sin embargo, $f(\beta_n^1)$ sería base de entornos de $f(n)$. En particular, el único entorno de $f(\beta_n^1)$ tendría que ser finito. Antes de continuar, observemos que $f(\beta_n^1)$ no tiene porqué ser $\beta_{f(n)}^2$ ya que en $({\mathbb N},\tau_2)$ hay muchas bases de entornos. La clave está en que cualquier entorno de $f(n)$ tiene que ser un conjunto infinito, pues debe contener dentro a $B_{f(n)}$. Como $f(A_n)$ es finito, hemos probado definitivamente que los espacios no son homeomorfos.
Pero también se puede usar la cardinalidad en otro sentido para decir que dos espacios no son homeomorfos. Así sabemos que si $(X,\tau)\cong (Y,\tau')$, entonces $\tau'=f(\tau)$. Por tanto, y como $f$ es biyectiva, el número de abiertos de $(X,\tau')$ coincide con el de $/Y,\tau')$. Así, si $X=\{1,2,3\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{1\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{1\},\{1,2\}\}$, entonces $(X,\tau)\not\cong (Y,\tau')$ ya que $\tau$ tiene tres elementos y $\tau'$ tiene cuatro.
Otra forma de usar que $f$ es biyectiva es estudiando la cardinalidad de cada conjunto abierto. Así, $({\mathbb R},\tau_D)$ tiene conjuntos abiertos con un elemento, a saber, todo conjunto unitario $\{x\}$, $x\in {\mathbb R}$ es abierto. Si $({\mathbb R},\tau_D)$ fuera homeomorfo a $({\mathbb R},\tau_u)$, entonces habría abiertos formados sólo por un elemento, es decir, $\{x\}$ sería abierto en la topología usual, lo cual no es cierto. Y así, los dos espacios no son homeomorfos.
Otro ejemplo se refiere a dos espacios topológicos que se han construido sobre el conjunto de los números naturales ${\mathbb N}$. Tenemos dos topologías que son las siguientes:$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N},A_n:n\in {\mathbb N}\},$$ $$\tau_2=\{\emptyset,{\mathbb N},B_n:n\in {\mathbb N}\},$$ donde $$A_n=\{1,2,\ldots,n\},\ \ B_n=\{n,n+1,\ldots\}.$$ Nos preguntamos si $({\mathbb N},\tau_1)$ es homeomorfo a $({\mathbb N},\tau_2)$. Tenemos varias formas de probar que no lo son. Pero si atendemos primero a la cardinalidad, observemos que en ambos espacios topológicos, el conjunto es el mismo, a saber, ${\mathbb N}$, luego tiene el mismo cardinal. Por otro lado, observemos también que el cardinal de $\tau_1$ es el mismo que el de $\tau_2$: ambos son numerables. Por tanto, no nos sirve.
Sin embargo, $\tau_1$ tiene sólo un conjunto que es infinito, el propio ${\mathbb N}$. Sin embargo, en $\tau_2$ todos los abiertos son infinitos (excepto $\emptyset$). Por tanto no pueden ser homeomorfos.
Otras forma de probar que no son homeomorfos es usando bases de entornos. Ya se probó que una base de entornos de $n\in {\mathbb N}$ en $\tau_i$ era: $$\beta_n^1=\{A_n\},\ \ \beta_n^2=\{B_n\}.$$ Aquí no podemos razonar por la cardinalidad de las bases, ya que ambas tienen un único elemento. Podríamos pensar que si $f$ es un homeomorfismo entre $({\mathbb N},\tau_1)$ y ${\mathbb N},\tau_2)$, entonces $f(\beta_n^1)$ es base de entornos de $n$ en $({\mathbb N},\tau_2)$ y como $A_n$ es finito, $B_n$ lo tendría que ser: como no lo es, ya habríamos concluido. El error está en que no sabemos que $f(n)$ es $n$.
Sin embargo, $f(\beta_n^1)$ sería base de entornos de $f(n)$. En particular, el único entorno de $f(\beta_n^1)$ tendría que ser finito. Antes de continuar, observemos que $f(\beta_n^1)$ no tiene porqué ser $\beta_{f(n)}^2$ ya que en $({\mathbb N},\tau_2)$ hay muchas bases de entornos. La clave está en que cualquier entorno de $f(n)$ tiene que ser un conjunto infinito, pues debe contener dentro a $B_{f(n)}$. Como $f(A_n)$ es finito, hemos probado definitivamente que los espacios no son homeomorfos.
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