Clases, tutorías y exámenes

Como ya sabéis, el curso casi ha acabado. Hasta el primer parcial queda casi un mes, y el final, es ya metidos en julio.

Para aquellas personas que tienen alguna duda de la asignatura y quiera consultármela tiene las vías de siempre: correo electrónico, o quedar en el despacho. Mi consejo es que si no es un montón de dudas, un correo electrónico es más rápido y efectivo, ya que la respuesta es rápida.

Si alguien quiere mejor el despacho, porque así se explica más detenidamente, basta con concertar una hora por correo electrónico.

Generalización de un cono

En esta entrada vamos a dar el concepto de cono topológico.

Para motivar la definición, consideramos el (trozo de) cono dado por $C=\{(x,y,z);x^2+y^2=z^2, 0\leq z\leq 1\}$. Este conjunto lo podemos ver como cociente del cilindro $X=S^1\times[0,1]$ del siguiente modo. En X se define la relación de equivalencia que identifica todos los puntos del subconjunto $S^1\times\{0\}$. Veamos que X/R es homeomorfo a C.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow C$ mediante $f(x,y,z)=(xz,yz,z)$. Es evidente que esta aplicación satisface $R_f=R$, pues, por un lado, $f(x,y,0)=(0,0,0)$ y por otra, si $f(x,y,z)=f(x',y',z')$, entonces z=z', y si z no es cero, entonces x=x' e y=y'. Y si z=0, entonces los puntos $(x,y,0)$ y $(x',y',z')$ pertenecen a $S^1\times\{0\}$.

Finalmente, la aplicación es continua, sobreyectiva y cerrada, ya que X es un compacto. Esto prueba que $X/R$ es homeomorfo a C.

Damos ya la definición de cono topológico. Dado un espacio topológico X, se define el cono de base X como el espacio cociente que se obtiene al identificar en el espacio producto $X\times [0,1]$ el subconjunto $X\times\{0\}$. El punto del conjunto cociente dado por la clase de $(x,0)$ se llama el vértice del cono.

Pegar dos "conjuntos iguales"

Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^(n-1)$ y consideramos dos "copias" del mismo en R^n del siguiente modo: $X=(A\times\{0\})\cup(A\times\{1\})$. Definimos la relación de equivalencia R que identifica el punto (a,0) con $(a,1)$. Intuitivamente el espacio cociente $X/R$ consiste en pegar $A\times\{0\}$ con $A\times\{1\}$ y por tanto, el espacio cociente debe ser, por ejemplo, una copia de A. Veamos la demostración.

Se define la aplicación $f:X\rightarrow A$ definida por $f(a,t)=a$. Esta aplicación es continua y sobreyectiva. La relación de equivalencia asociada es $R_f$. Por otro lado, $f$ tiene una inversa continua por la derecha, a saber: $g(a)=(a,0)$. Por tanto, $f$ es una identificación y el espacio cociente $X/R$ es homeomorfo a $A$.

Por ejemplo, si tomo dos copias de un disco y pego uno sobre otro, lo que "queda" es de nuevo un disco.

Glosario, definitivamente

Antonio José e Ismael han acabado con el glosario de la asignatura, que se encuentra disponible ya en el blog.

Frisos y grupos cristalográficos

Los movimientos rígidos del plano están formados por traslaciones, rotaciones, reflexiones (respecto de una recta) y reflexiones seguidas de deslizamiento (con vector de deslizamiento paralelo a la recta de simetría). Consideremos una figura F del plano y G(F) el conjunto de movimientos del plano que dejan fija F, es decir, g(F)=F, con g\in G(F). Dada una figura F, existe un motivo M,
M\subset F tal que cuando hacemos actuar los movimientos de G(F), obtenemos F.

Si el grupo G(F) tiene un subgrupo de traslaciones T(F), entonces sólo cabe la posibilidad de que T(F) esté generado por una traslación no trivial, o por dos traslaciones linealmente independientes.

Tomamos ahora F como el plano euclídeo.

Un friso es un motivo que es repetido una y otra vez siguiendo una dirección U del plano. Por tanto, T(F) está generado por un elemento. Entonces existe un rectángulo que contiene al motivo del friso y uno de cuyos lados coincide con el vector U. Un friso puede verse como la acción de un grupo generado por una traslación sobre el plano. El espacio cociente por dicha acción es un cilindro. Hay sólo siete formas de generar un friso a partir de un motivo M mínimo. Podéis verlo aquí.

Un mosaico es un motivo que se repite en dos direcciones distintas del plano (las losetas necesarias para recubrir todo el plano). Un grupo cristalográfico es aquél que tiene como subgrupo de traslaciones el generado por dos traslaciones linealmente independientes. Los dos vectores U y V que generan dichas traslaciones determinan un paralelogramo fundamental (loseta). El grupo de traslaciones actúa sobre el plano dando como cociente un toro. Existen 17 grupos cristalográficos. En los mosaicos de la Alhambra de Granada es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano.

Podéis ver más información sobre frisos y grupos cristalográficos en esta página web y en este artículo.

Abiertos en el cociente, abiertos saturados

En R se considera la relación xSy si x-y es un número entero. Sea p la aplicación proyección de R en R/S. Sabemos que la saturación de un conjunto A es R[A]=A+Z. Sea A=(0,1) y O=p(A). El conjunto A no es saturado, pero p(A) es un abierto en el cociente ya que si hacemos su imagen inversa mediante p, es decir, si calculamos su saturación, tenemos un abierto de R:

R[A]=p^{-1}(p(A))=A+Z=\cup_{n\in Z}(n+A)

y cada conjunto de la forma n+A es abierto pues es la traslación (un homeomorfismo) del conjunto A.

Si A es abierto, y si p(A) es abierto, ¿es que A es saturado? No. Lo que se sabe es que los abiertos en el cociente son las imágenes mediante p de abiertos saturados. Por tanto, p(A) es la imagen mediante de un cierto abierto saturado V: p(V)=p(A). Concretamente, V=A+Z.

También existen conjuntos A que no son abiertos, pero sí p(A), es decir, existen conjuntos no abiertos cuya saturación sí lo es. Esto ya se preguntó en el blog y ya se dieron ejemplos. En el caso anterior A=[0,1] no es abierto, p(A) sí es abierto, pues R[A]=R

Más sobre la botella de Klein

La profesora Marta Macho me ha enviado un mensaje donde me informa de un enlace de Cliff Stoll (http://www.kleinbottle.com/) donde se ve cómo al cortar la botella de Klein de cierta forma, se obtiene 2 bandas de Möbius. Lo podéis ver aquí

http://www.kleinbottle.com/sliced_klein_bottles.htm

No he podido subir al blog el vídeo que grabó Antonio José sobre qué queda al quitar una banda de Möbius de un plano proyectivo y de una botella de Klein. No es muy bueno ya que no se percibe las flechas que hizo Ana Isabel en los papeles que se trajo. Si os gusta como recuerdo,os lo envío bajo petición.

¿Se lleva bien la saturación y la topología?

Como en la entrada anterior, consideramos un espacio topológico X y una relación de equivalencia R. Denotamos por R[A] la saturación de un subconjunto (no trivial) A de X. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:

1. A es abierto pero R[A] no es abierto.
2. R[A] es abierto, pero A no es abierto.
3. A es cerrado pero R[A] no es cerrado.
4. R[A] es cerrado, pero A no es cerrado.
5. A es conexo pero R[A] no es conexo.
6. R[A] es conexo, pero A no es conexo.
7. A es compacto pero R[A] no es compacto.
8. R[A] es compacto, pero A no es compacto.

¿Se lleva bien la separación y el cociente?

Consideramos un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia $R$. Me pregunto por ejemplos no triviales (si los hubiera) de:

1. $X$ es $T_1$ pero $X/R$ no es $T_1$.
2. $X/R$ es $T_1$ pero $X$ no es $T_1$.
3. $X$ es $T_2$ pero $X/R$ no es $T_2$.
4. $X/R$ es $T_2$ pero $X$ no es $T_2$

Dos ejemplos "parecidos"

Se considera la base usual $B=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$ y $B'=\{v_1,v_2\}$ otra base de $\mathbb{R}^2$. Se consideran las relaciones de equivalencia $R$ y $S$ definidas en $\mathbb{R}^2$ mediante: $(x,y)R(x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m e_1+n e_2$ y $(x,y) S (x',y')$ si $(x,y)-(x',y')=m v_1+nv_2 $, donde m y n son números enteros. El primer espacio cociente es $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}\times \mathbb{Z}$, es decir, un toro. El segundo cociente es homeomorfo al primero. Para ello basta encontrar un homemorfismo de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo que respete las relaciones $R$ y $S$ de forma que factorice, y la aplicación entre los cocientes sea homeomorfismo. El homeomorfismo que se busca es cualquier aplicación lineal que lleve una base en la otra. El hecho de ser lineal, implica que "respeta".

Un ejemplo parecido, pero no igual, es tomar $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación $R\times R$, donde $R$ identifica $0$ y $1$. El cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$, es decir, un toro. Sea ahora $Y=[0,2]x[1,4]$, con la relación $S\times T$, donde S identifica el $0$ y el $2$ y $T$ el $1$ y $4$. El cociente es de nuevo homeomorfo a $[0,2]/S \times [1,4]/T$, de nuevo el toro. Pero si la forma con la que queremos probar que este espacio cociente es homeomorfo a $[0,1]/R \times [0,1]/R$ estableciendo un homeomorfismo entre $X$ e $Y$ que factorice, este homeomorfismo (que tiene que respetar las relaciones $R\times R$ y $S\times T$), no tiene porqué ser lineal, sino cualquiera entre un cuadrado y un rectángulo que lleve "lados a lados".

Saturaciones de conjuntos

Os dejo aquí algunos ejercicios sencillos para que calculéis la saturación de conjuntos.

• Dado un conjunto $X$ y a un subconjunto suyo se considera la relación que identifica todos los puntos de $A$. ¿cuál es la saturación de cualquier subconjunto de $X$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $x-x'$ e $y-y'$ son números enteros. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par $(x,y)$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si las diferencias $y-x^3=y'-x'^3$. ¿cuál es la clase de equivalencia de un par (x,y)?
• En la esfera $\mathbb{S}^n$, se considera la relación de ser iguales o antípodas. ¿cuál es la saturación de un subconjunto de S^n?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y'$) si $x=x'$ ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?
• En $\mathbb{R}^2$ se considera la relación de equivalencia $(x,y)R(x',y')$ si ó son iguales ó x=x'=1 ¿cuál es la saturación de un subconjunto de $\mathbb{R}^2$?

Hay un glosario de la asignatura

Los compañeros Antonio José e Ismael acaban de realizar un glosario de la asignatura. Sólo está incluidos aquellos términos correspondientes al primer cuatrimestre. Se encuentra en la columna de la derecha del blog.

Pido a los que lo veáis, que digáis posibles erratas y/o si falta algún concepto nuevo.

Los mismos autores están elaborando la parte correspondiente al segundo cuatrimestre, lo que completaría todo el curso.

La Alhambra y la botella de Klein

Sigo con la misma idea que la entrada anterior. Si queremos cubrir una pared (un plano) mediante una loseta (una baldosa) que vamos repitiéndola por medio de dos traslaciones linealmente independientes, hay 17 formas de hacerlo. Cada baldosa se construye con un motivo (pieza generatriz) a la que se le aplica movimientos rígidos del plano, hasta construir la baldosa. Si la pieza generatriz no tiene ninguna simetría (el caso más simple de grupo cristalográfico), entonces podemos ver nuestro mosaico como el conjunto cociente del plano R^2 mediante el grupo de dos traslaciones linealmente independientes. Dicho cociente es un toro.

Sin embargo, si la pieza generatriz tiene simetrías, los conjuntos cocientes puedes ser de varias formas. El grupo de simetría que tiene la figura es lo se llama grupo cristalográfico. En el primer ejemplo, este grupo es la identidad (después se le aplica el grupo de traslaciones en dos direcciones no proporcionales).

En la entrada anterior, se vio un ejemplo de mosaico cuyo cociente es la banda de Möbius. Hay otros mosaicos, cuyos cocientes son planos proyectivos, y botellas de Klein. El grupo cristalográfico de éste último se llama pg. Ver más información aquí.

En la Puerta del vino, en la Alhambra, hay un ejemplo de este mosaico, aunque algo deteriorado. Pongo un dibujo.

La Alhambra y la banda de Möbius

Es conocido la riqueza de mosaicos que existe en la Alhambra. Estos mosaicos se obtienen de pegar losetas (baldosas) en dos direcciones del plano linealmente independientes. La figura que aparece en cada loseta está generada por una región fundamental a la cual se le aplica giros y simetrías.

Hay muchas páginas de internet dedicadas a mosaicos. Por ejemplo, en http://www.math.arq.uva.es/GYCGA/Apuntes/raiz/raiz.html.

Cabe destacar los grupos cristalográficos, que nos dice una manera de construir mosaicos . Hay exactamente 17 grupos cristalográficos, los cuales todos se encuentra representados en la Alhambra en forma de mosaicos .

Quiero destacar uno de estos grupos, llamado cm. La loseta es en forma de rombo, y se obtiene de hacer un cociente en un toro. Al hacer reflexión sobre la recta R, el conjunto cociente es una banda de Möbius (ejercicio).

Ver más detalle aquí. Un mosaico de este tipo aparece en la Alhambra (columna de la derecha).

Cosiendo un círculo

Se ha probado que la recta proyectiva RP^1 es homeomorfa a $\mathbb{S}^1/R$, donde $R$ es la relación que identifica puntos antípodas. ¡ Cosamos pues un círculo mediante puntos antípodas!

En el siguiente dibujo se ve el proceso. Primero pegamos los dos puntos a, quedando dos círculos pegados por dicho punto. Después giramos 180 grados sólamente el círculo de abajo. Y finalmente, se dobla por la recta discontinua, haciendo coincidir cada pareja de puntos. El resultado que se obtiene es un círculo $\mathbb{S}^1$.

Quitando cilindros

Hemos visto hoy en clase que si quitamos un determinado cilindro a una botella de Klein queda dos bandas de Möbius.

Esto lo podemos hacer para otras superficies, como son una esfera, toro (superficies sin borde) y un cilindro (superficie con borde).

Una esfera menos un cilindro son 2 discos.

Un toro menos un cilindro es 1 cilindro.

Un cilindro menos un cilindro son 2 cilindros.

¡Es evidente la relación R_f!

Ante la observación hecha hoy por Renato de que la relación $R_f$ es la que es, vuelvo a comentar lo mismo: consideramos un espacio topológico $(X,T)$ y una relación de equivalencia $R$. Cuando nos estamos preguntando a qué espacio "conocido" es homeomorfo el espacio cociente $X/R$, nos estamos refiriendo a si somos capaces de hallar un espacio topológico $(Y,T')$, "el conocido", donde podamos establecer una identificación $f:X\rightarrow Y$ y de forma que la relación R_f coincida con la relación $R$. Salvo probar que f es una identificación, lo más difícil es encontrar el espacio Y, y la aplicación "pegado" f.

En el ejemplo hecho en clase, $[0,1]/\{0,1\}\cong \mathbb{S}^1$, la aplicación es $f(x)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$.

En general, siempre que tengamos identificaciones, siempre tenemos un homeomorfismo entre $X/R$ y el espacio $Y$. A continuación pongo varios ejemplos. El dominio va a ser un espacio compacto, el codominio, un subconjunto de un espacio euclídeo, y por tanto, es Hausdorff. Esto nos dice que la aplicación es cerrada y por tanto, si restringimos a la imagen, la aplicación es una identificación. Pero ¿cuál es la relación $R_f$? ¿es "tratable"?

1. Sea $D$ el disco unida y $f(x,y)=x^2+y^2. Como la imagen es $[0,1]$, entonces $D/R_f\cong [0,1]$.
2. En el cuadrado $X=[0,1]\times[0,1]$, se considera $f(x,y)=x^2+y$. Ya que $f(X)=[0,2]$, entonces $X/R_f\cong [0,2]$.
3. Consideramos $f:[0,\pi]\rightarrow R$ dada por $f(x)=\sin(x)$. La imagen es $[0,1]$, luego $[0,\pi]/R_f\cong [0,1]$.

Recortando banda de Möbius

Tomamos una botella de Klein, como el conjunto cociente de un cuadrado. Quitamos una banda de Möbius. ¿qué tipo de superficie queda? Lo vemos en la siguiente figura, como un proceso de recortes y acciones de pegado.

La respuesta es: ¡otra banda de Möbius!. Más sobre la botella de Klein la podéis encontrar en http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html. También la podéis "tocar" aquí.

Tomamos ahora un plano proyectivo y como antes, quitamos una banda de Möbius. ¿qué queda ahora? Con un proceso parecido al de antes tenemos:

¡un disco! o una esfera a la que se le ha quitado un disco.

En la página web http://www.mathcurve.com/surfaces/planprojectif/planprojectif.shtml podéis ver diferentes representaciones del plano proyectivo, y en cada una de ellas, podéis manipularla. Por ejemplo, aquí.

De cualquier forma, existen numerosos vídeo en youtube.com sobre la botella de Klein y el plano proyectivo.

El cono como conjunto cociente del cilindro

Ya hemos comentado que hacer topologías cocientes es "pegar" a través de la relación de equivalencia. Exactamente, es como si cogiéramos los puntos que están relacionados entre sí y los pegáramos en un único punto (su clase de equivalencia). Si esto lo hacemos para subconjuntos de espacios euclídeos, con la topología usual, entonces la topología cociente se obtiene, efectivamente, de "pegar". Como ejemplo tenemos el siguiente, el cual podemos resumirlo diciendo: "el cono se puede obtener como conjunto cociente del cilindro".

Lo que se va a hacer es tomar un (único) círculo del cilindro y pegarlo (reducirlo) en un único punto. El espacio que queda es como si al cilindro le estrujáramos por el centro con la mano, convirtiendo el correspondiente círculo en un punto. Es natural pensar que el espacio que queda es homeomorfo al cono.

Tomamos el cilindro $X$ de ecuación $x^2+y^2=1$ y el cono $Y$ de ecuación $z^2=x^2+y^2$. En $X$ se define la relación de equivalencia R dada por dos puntos $(x,y,z)$, $(a,b,c)$ están relacionados si son iguales o $z=c=0$, es decir, si ambos puntos pertenecen al círculo de X a altura 0.

Consideramos el conjunto cociente $X/R$. Establecemos la siguiente aplicación $f:X\rightarrow Y$ mediante $f(x,y,z)=(zx,zy,z)$. Esta aplicación me lleva cada círculo del cilindro $X$ en el círculo del cono $Y$ a la misma altura. Observemos que el círculo de altura $0$ lo lleva al punto $(0,0,0)$ del cono.

Si denotamos por $R_f$ la relación de equivalencia determinada por $f$, es decir, $(x,y,z) R_f (a,b,c)$ si $f(x,y,z)=f(a,b,c)$, es fácil observar que la relación $R_f$ es la relación $R$. Como la aplicación es sobreyectiva, entonces f induce una aplicación biyectiva $f:X/R\rightarrow Y$.

La aplicación $F$ es un homeomorfismo. Por tanto, el cono se obtiene como espacio cociente del cilindro para una determinada relación de equivalencia.

Topología cociente - topología final

Sea (X,T) un espacio topológico y f:(X,T)\rightarrow Y una aplicación. Definimos la siguiente topología T_f en Y.

T_f=\{O'\subset Y;f^{-1}(O')\in T\}.

Esta topología se llama topología final en Y determinada por (X,T) y f. Esta topología tiene las siguientes propiedades (¡ejercicio!):

1. La aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T_f) es continua.
2. La topología T_f es la topología más fina en Y que hace continua a f. Esto significa lo siguiente: sea T' otra topología en Y que satisface que la aplicación f:(X,T)\rightarrow (Y,T') es continua. Entonces T'\subset T_f.
3. Sea una aplicación g:(Y,T_f)\rightarrow (Z,T''). Entonces g es continua si y sólamente si g\circ f es continua.
   

Observemos que si la aplicación no es sobreyectiva, entonces la topología final induce en Y-f(X) la topología discreta.

Dada una relación de equivalencia R en un espacio topológico (X,T), la topología cociente es la topología final en el conjunto cociente X/R determinada por (X,T) y la aplicación proyección p:X\rightarrow X/R.

Topología cociente - topología producto

La topología cociente es, en cierto sentido, dual de la topología producto. En Topología, la topología cociente es un ejemplo de topología final, y la topología producto, un ejemplo de topología inicial. Veamos esas propiedades duales.

1. Sean espacios topológicos (X,T) e (Y,T') y el espacio topológico producto (XxY,TxT').

• Las aplicaciones proyecciones son continuas: p:(X\times Y,T\times T')\rightarrow (X,T) y p':(X\times Y)\rightarrow (Y,T').
• La topología TxT' es la topología menos fina en XxY que hace continuas a las aplicaciones proyecciones.
• Una aplicación f:(Z,T'')\rightarrow (X\times Y,T\times T') es continua si y sólamente sip\circ f y p'\circ f son continuas.

2. Sea un espacio topológico (X,T) y R una relación de equivalencia en X.

• La aplicación proyección p:(X,T)\rightarrow (X/R,T/R) es continua.
• La topología T/R es la topología más fina en X/R que hace continua a la proyección.
• Una aplicación f:(X/R)\rightarrow (Z,T') es continua si y sólamente si f\circ p es continua.