miércoles, 24 de febrero de 2010

¿Qué prefieres, conexo o arcoconexo?

Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.

Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.

Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.

martes, 23 de febrero de 2010

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz importante a la manera de trabajar para probar si un espacio es conexo a demostrar que es arcoconexo. En el primer caso, hay que probar que "no existe una partición por abiertos no trivial del espacio", mientras que para demostrar que el espacio es arcoconexo, hay que "hallar un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio". En éste caso, el esfuerzo es "encontrar" dicho camino, es decir, hay que imaginarse, de un modo u otro, cómo puede ser ese camino, definirlo, y probar que, efectivamente, es un arco.

Sin embargo, el probar que un espacio es conexo es probar la "no existencia", lo cual es completamente diferente.

Muestro a continuación un ejemplo. Se considera un conjunto X con la topología T del punto incluido para un punto p dado.

1. Es espacio es conexo. Sea una partición por abiertos del espacios, $X=A\cup B$. Uno de ellos, por ejemplo A, debe contener a p. Por tanto, por la forma que es T, B tiene que ser el vacío, y así, A=X.

2. El espacio es arcoconexo. Se va a probar que p se puede unir con cualquier otro punto q mediante un camino. El problema surge en ¿pero cómo lo defino? ¿cómo son las aplicaciones continua de I=[0,1] en X? Un ejemplo de camino es (¡sorprendente!) $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1)$ y $\alpha(1)=q$ (¡probar que $\alpha$ es continua!)

Resulta sorprendente por que la imagen de la curva, es decir, $\alpha([0,l])$ está formada por ¡dos puntos!

Creo que a pocos se les ocurriría definir así el camino, a no ser un experto-punto-incluidiano.