viernes, 31 de diciembre de 2010

Conexión y soluciones de una ecuación

El próximo tema se dedica a estudiar el concepto de conexión. Éste es clave en Topología y para motivarlo vemos a continuación su relación con la existencia de soluciones de una ecuación. El siguiente ejemplo es sencillo e incluso muy simple, porque buscamos soluciones de ecuaciones en subconjuntos de los números reales $\mathbb{R}$, hay que verlo mucho más allá, en verdad, bastante más, ya que por "ecuación" y por "conjunto" uno puede pensar en cosas mucho, muchísimo más abstractas.

Consideramos $X=[0,1]\cup[2,3]$ y la aplicación $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x)=-1$ si $x\in [0,1]$ y $f(x)=1$ si $x\in [2,3]$. Esta aplicación es ¡continua!. Consideramos la ecuación $f(x)=0$ y buscamos soluciones en $X$. Está claro que no hay soluciones.

Consideramos ahora $X=[0,1]$ y $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2+x+1$. De nuevo $f$ es continua y si queremos buscar soluciones de $f(x)=2$, podemos hallarlas simplemente resolviendo la ecuación.

Modificamos este ejemplo, cambiando $f$ por $f(x)=\sin(\pi x/2)+e^x-1$ y con la misma ecuación $f(x)=2$. Lo primero, e importante, es decir que uno no puede probar la existencia "resolviendo" la ecuación, ya que es imposible. Sin embargo, el valor de $f$ en los extremos de $X$ es $f(0)=1$ y $f(1)=e>2$. Aunque uno no sabe dibujar la gráfica de $f$, sabemos que $f$ une el punto $(0,1)$ con $(1,e)$ y como no podemos levantar el lápiz del papel, en algún momento cruzará con la recta $y=2$ (puede que incluso varias veces), probando que la existencia de solución. Ver el dibujo.


Olvidándonos ahora por cómo responder a la pregunta ¿pero cuál es la solución?, lo cual a veces no es importante, sí hemos probado que existe solución, que a veces sí es importante. Usando terminología de Cálculo, hemos usado el "Teorema del Valor Intermedio".

Lo que hay detrás de la existencia de soluciones es: 1) $X$ es considerado un espacio topológico, en este caso, con la topología usual (¿dónde se ha usado?), 2) $f$ es continua y 3) el hecho de que $X$ está formado por un único "trozo", a diferencia del primer ejemplo.

La conexión estudia, en cierta manera, los "trozos" de que está hecho un espacio topológico.

viernes, 17 de diciembre de 2010

Topología inducidas de productos topológicos

La topología inducida en $\mathbb{Z}$ como subconjunto de $(\mathbb{R},\tau_u)$ es la discreta. Uno se imagina los subconjuntos (con topologías inducidas) de $\mathbb{R}^n$ con la topología discreta como conjuntos con "puntos aislados". Es claro que hay que decir primero qué topología se está considerando en $\mathbb{R}^n$.

Si $\tau_S$ es la topología de Sorgenfrey de $\mathbb{R}$, sabemos que la topología inducida en el conjunto $A=\{(x,-x);x\in\mathbb{R}\}$ como subconjunto de $(\mathbb{R}^2,\tau_S\times\tau_S)$ es la discreta. Este conjunto no es un conjunto de "puntos aislados". Por otro lado, considerando el mismo espacio producto, la topología inducida en $B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es también la discreta.

(Comparando con el anterior párrafo) Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología $\tau$ generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Se puede comprobar que si tomamos $(\mathbb{R}^2,\tau\times\tau)$, la topología inducida en $A$ es la discreta, pero en $B$ ¡no es la discreta!

viernes, 3 de diciembre de 2010

Hallar el interior y adherencia en un espacio producto

Para calcular si un punto es interior (o adherente) en un espacio topológico producto $(X\times Y,\tau_1\times\tau_2)$ podemos usar la definición o caracterizaciones que ya tenemos del tema 1. ¿Cuál es ahora la "novedad" por estar trabajando en un espacio producto?

Una primera es que el conjunto que estemos tratando sea también un producto, es decir, de la forma $A\times B$. En tal caso, el problema que tenemos "se lleva" a un problema en cada uno de los factores. Por ejemplo, para interior,$$int(A\times B)=int(A)\times int(B).$$Como ejemplo tenemos el siguiente. Supongamos que $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ es la topología discreta y $\tau_2$ es la usual. Tomamos el conjunto $\mathbb{Q}\times [1,2)$. Entonces$$int(\mathbb{Q}\times [1,2))=int(\mathbb{Q})\times int([1,2)=Q\times (1,2).$$

La segunda observación es que para trabajar "bien" en la topología producto, hay que trabajar con bases de abiertos (o bases de entornos) de cada uno de los factores. Por ejemplo, tomamos $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ la topología del punto incluido para $p=0$ y $\tau_2$ la topología generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Una base de entornos de $x$ en $\tau_1$ is $\beta_x^1=\{\{x,0\}\}$ y en $\tau_2$, $\beta_x^2=\{[x,\infty)\}$. Por tanto una base de entornos de $(x,y)$ en la topología producto es $\{\{x,1\}\times [y,\infty)\}$. Si tomamos ahora $A$ cualquier bola de $\mathbb{R}^2$, entonces no hay entornos de los anteriores dentro de $A$, es decir, su interior es el vacío.

jueves, 2 de diciembre de 2010

La diagonal principal

Dado un conjunto X, la diagonal principal es el subconjunto de $X\times X$ dado por
$$D=\{(x,x);x\in X\}.$$
Este conjunto NO es un producto cartesiano de DOS subconjuntos de X, a no ser que X tenga sólo un elemento. Efectivamente, supongamos $D=A\times B$, para ciertos conjuntos A y B. Sean $x,y\in X$, $x\not=y$. Como
$(x,x),(y,y)\in A\times B$, entonces $x,y\in A\cap B$. Por tanto $(x,y)\in A\times B=D$, es decir, $x=y$: contradicción.

Sabemos de clase que si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, entonces $(D,(\tau\times\tau)_{|D})$ es homeomorfo a $(X,\tau)$.

Finalmente, si queremos estudiar la continuidad de cierta aplicación que llega a D, NO podemos decir que será continua si su composición con las proyecciones que salen de D, también son continuas, ya que no hay tales proyecciones.