viernes, 30 de octubre de 2009

Frontera, frontera...

Un conjunto A de un espacio topológico se llama frontera si A está incluido en Fr(A). Por ejemplo, en R, el conjunto de los números racionales es frontera. También el conjunto de los números irracionales.

Estudiar alguna caracterización de un conjunto frontera y poner más ejemplos, tanto en R como en otros espacios topológicos.

jueves, 29 de octubre de 2009

Topología de Sorgenfrey

Una persona me preguntó hace unos días "para qué sirve la topología de Sorgenfrey". El "para qué sirve" significa "para qué sirve en la vida cotidiana". No tengo respuesta a ello, pero me gustaría, por curiosidad, saberlo (si es que la tiene). Lo que sí he encontrado es un artículo del propio Sorgenfrey, del año 1947, donde aparece dicha topología. El enlace es el siguiente:

donde podéis descargarlo. El objetivo de dicho artículo era poner un ejemplo de dos espacios paracompactos cuyo producto no es paracompacto. Y el ejemplo lo encuentra al tomar la topología de Sorgenfrey, y hacer producto de ella consigo misma. De todas formas, ahí queda la pregunta sobre la "utilidad".

Sobre la "utilidad" de otra topología, la de Sierpinski, escribí algo en una entrada del blog en el curso pasado:

La clase de mañana

La clase de mañana viernes va a ser dedicada a calcular el interior y adherencia de diferentes subconjuntos de R^2 (con la topología usual), a saber:
  1. El círculo x^2+y^2=1.
  2. El conjunto x^2+y^2>1.
  3. La parábola y=x^2.
  4. El conjunto y>x^2.
  5. El eje de abcisas.

Podríamos hacer también el mismo estudio, pero cambiando la topología en R^2 por aquélla que tiene como base los conjuntos B_y=R x {y}.

miércoles, 28 de octubre de 2009

Un mes con la asignatura

Ya ha transcurrido un mes desde que se empezó el curso. El tema 1 se ha acabado y se va a hacer el examen correspondiente. No voy a valorar cómo ha sido dicho mes pero sí me gustaría que los alumnos hicieran aquí en el blog sus comentarios de cómo ha sido este mes (en la entrada del 2 de octubre, preguntando sobre cómo fue el inicio del curso, sólo hubo un comentario).

Quiero recordar aquí formas de participar en clase (y mejorar la nota).
  1. haciendo ejercicios en la pizarra,
  2. haciendo comentarios y entradas en el blog,
  3. haciendo los trabajos propuestos,
  4. participando en el foro,
  5. abriendo nuevas hebras en el foro,
  6. preguntando en clase,
  7. participando en el chat.

Éstas son alguna de las formas, aunque no están limitadas a ellas.

viernes, 23 de octubre de 2009

El problema de los puentes de Königsberg

Un ciudadano de Königsberg (Prusia) se propuso dar un paseo cruzando cada uno de lossiete puentes que existen sobre el río Pregel una sola vez. ¿Cómo debe cruzar los puentes para realizar el paseo?


En 1736, el matemático suizo Leonard Euler en una de sus obras respondía a esteproblema mediante una nueva geometría: «geometriam situs» en el título de Euler,palabras que hoy se traducen como topología.

Tomemos el problema de los puentes de esta forma:Fijémonos solamente en los vértices: los puntos donde se encuentran tres o más líneas.Digamos que un vértice es impar, si allí se encuentran una cantidad impar de líneas:tres, cinco, siete...Si en un vértice se encuentran una cantidad par de líneas, entonces lo llamaremosvértice par.



Pues bien:

-Si un gráfico no tiene vértices impares, entonces se puede dibujar. Además, sepuede dibujar empezando desde cualquier vértice.

-Si un gráfico tiene exactamente dos vértices de impares, entonces se puededibujar, pero siempre será necesario comenzar en uno de ellos y terminar en el otro.

-Si un gráfico tiene tres o más vértices impares (como es nuestro caso), entoncesno se puede dibujar.
(por Nico)

martes, 20 de octubre de 2009

Topología relativa de la topología del punto incluido

Consideramos un conjunto X con la topología del punto incluido parar un punto p fijo. Sea ahora A un subconjunto de X y consideramos la topología relativa en A. Me pregunto si la topología relativa en A es ... la del punto incluido. Por ejemplo, ¿tiene sentido la pregunta? ¿para qué punto sería? Y en caso de que la respuesta fuera NO, ¿la topología relativa tiene nombre?, quiero decir si es conocida.

Las preguntas anteriores nos las podríamos hacer con topologías "con nombre", por ejemplo, ¿la topología relativa en A de la topología de los complementos finitos de X es la topología de los complementos finitos en A?

lunes, 19 de octubre de 2009

Ejercicios de autoevaluación

En la plataforma SWAD de la Universidad (http://swad.ugr.es/), los alumnos de la asignatura están (o deberían estar) dados de alta. Si vais a la asignatura de Topología I, veréis en la pestaña de "Autoevaluación" un "Test de evaluación" que estoy elaborando. Es una serie de preguntas tipo test con una única opción como respuesta.

Os propongo que me enviéis por correo electrónico preguntas del tipo de las que aparecen allí, para que yo pueda ir añadiéndolo a la base de preguntas. Sería una pregunta, con cuatro opciones y solo una de ellas verdadera.

viernes, 16 de octubre de 2009

Plano de Moore

El plano de Moore es un espacio topológico definido sobre X=R\times [0,\infty). La topología se da mediante base de entornos. Para los puntos de L=R\times (0,\infty) son las bolas euclídeas centradas en cada punto y contenidas en X. Para los puntos (x,0) de R\times\{0\} son las bolas de X tangentes a L en (x,0) junto con el punto (x,0).

El ejercicio es probar que esto define una topología en X.

martes, 13 de octubre de 2009

Topología relativa



Tomamos R con la topología usual Tu y A=[0,2) con la topología relativa de Tu, y que denotaremos por Tru.
  1. Sea x=0 y U=[0,1]. Entonces este conjunto NO es un entorno de 0 en Tu pero SÍ lo es en Tru.
  2. El conjunto [0,2) NO es abierto en Tu pero SÍ es abierto en Tru.
  3. El conjunto [1,2) NO es cerrado en Tu pero SÍ en Tru.

lunes, 12 de octubre de 2009

Distancia discreta en R^n

En  $\mathbb{R}^n$ considera la distancia discreta, es decir, la que está definida como $d(x,y)=0$ si $x=y$ y $d(x,y)=1$ si $x$ no es $y$. Entonces las bolas son $B_r(x)=\{x\}$ si $r$ es menor o igual que $1$ y $B_r(x)=\mathbb{R}^n$ si $r>1$. Sabemos que $(\mathbb{R}^n,d)$ es un espacio métrico y la base formada por las bolas son base de una topología. Por tanto, los elementos de esa base son conjuntos formados por un punto y $\mathbb{R}^n$, es decir, $\beta=\{\{x\};x\in R^n\}\cup\{R^n\}$.

La topología que da dicha base es la topología discreta. Primera observación: los abiertos NO son los conjuntos formados por puntos y $\mathbb{R}^n$. Los abiertos son uniones de ellos.

De esta forma, si $A$ es un subconjunto cualquiera de $\mathbb{R}^n$, entonces $A$ es unión de sus puntos, los cuales al ser abiertos (están en la base), A es unión de abiertos, luego abierto. Esto prueba que la topología es la discreta.

(por María Rita)

viernes, 9 de octubre de 2009

¿Bases de la topología usual?

En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$  podemos considerar familias de conjuntos "parecidas" a la base usual de la topología usual. Por ejemplo, podemos tomar:

$\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in N\}$ donde N es el conjunto de los números naturales.

$\beta_2=\{(a,b); a < b, a,b\in Z\}$ donde Z es el conjunto de los números enteros.

$\beta_3=\{(a,b); a < b, a,b\in Q\}$ donde Q es el conjunto de los números racionales.

$\beta_4=\{(a,b); a < b, a,b\in I\}$ donde I es el conjunto de los números irracionales.

$\beta_5=\{(a,b); a < b, a\in Q, b\in Z\}$.

Y así sucesivamente. Dos preguntas hago:

1. ¿las familias anteriores son base de alguna topología?
2. ¿las familias anteriores son base de la topología usual de R?

miércoles, 7 de octubre de 2009

Topología usual / topología de Sorgenfrey

Estas topología son diferentes. En verdad, la topología usual $\tau_u$ está incluida en $\tau_S$. Llamamos $\beta=\{(x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ y $\gamma=\{[x,y);x < y, x,y\in {\mathbb R}\}$ las bases de $\tau_u$ y $\tau_S$.

Un elemento de $\beta$ es abierto en $\tau_S$: sea $(a,b)$ y $x\in(a,b)$. Entonces $x\in [\frac{a+x}{2},\frac{b+x}{2})\subset(a,b).$ Si los elementos de $\beta$ están en $\tau_S$, las uniones arbitrarias de $\beta$ (es decir, $\tau_u$) son abiertos en $\tau_S$, por ser unión de abiertos.

El conjunto $[0,1)$ pertenece a $\tau_S$, pero no a $\tau_u$, pues tendría que existir $a$ y$ b$ tales que $0\in (a,b)\subset [0,1).$ Del hecho $0\in (a,b)$ se tiene $a< 0 < b$ y de la inclusión $(a,b)\subset [0,1]$ que $0\leq a$: contradicción.

(por R. Ruiz)

martes, 6 de octubre de 2009

Intervalo cerrado/conjunto cerrado

Un intervalo cerrado $[a,b]$ de la recta real $\mathbb{R}$ se define como $[a,b]=\{x\in \mathbb{R};a\leq x\leq b\}$. Esta definición NO tiene nada que ver con Topología.

En $\mathbb{R}$ podemos considerar muchas topologías, y nos podemos preguntar si un intervalo cerrado $[a,b]$ es un conjunto cerrado en el espacio topológico. Os dejo que penséis esta cuestión en las siguientes topologías de $\mathbb{R}$ (doy las bases de las topologías):
  1. topología usual.
  2. $\beta=\{[x,y);x< y, x,y\in \mathbb{R}\}.$
  3. $\beta=\{[x,\infty);x\in \mathbb{R}\}$
  4. $\beta=\{(-\infty,x];x\in \mathbb{R}\}.$
  5. $\beta=\{(x,\infty);x\in\mathbb{R}\}.$
  6. $\beta=\{(x,y];x< y,x,y\in \mathbb{R}\}.$

lunes, 5 de octubre de 2009

Abierto/cerrado

Ya hemos comentado en clase cierta confusión que se puede generar al usar los conceptos de 'abierto' y 'cerrado'. Los conjuntos abiertos son los elementos de la topología y los conjuntos cerrados son los conjuntos complementarios de los abiertos. Sin embargo conjunto abierto NO es lo contrario de conjunto cerrado, ya que no tiene sentido hablar de 'contrario'.

Del mismo modo, un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez. Por ejemplo en la topología discreta y en la topología trivial el conjunto de los abiertos coincide con el de los cerrados.

En la topología del punto incluido es evidente que un conjunto no puede ser abierto y cerrado a la vez ya que por ser abierto tendría que contener al punto p, y por ser cerrado, su complementario, que es abierto, también lo debería tener como elemento: imposible.

Os pongo dos ejemplos para que penséis esta cuestión. En $X=\{a,b,c,d\}$ se definen dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ (¡comprobar!) dadas por $\tau_1=\{\emptyset, X, \{a,b\},\{c,d\}\}$ y $\tau_2=\{\emptyset,X,\{a,b\},\{b,d\},\{a,b,d\},\{c\},\{a,b,c\},\{b,c,d\}\}$

sábado, 3 de octubre de 2009

Correo electrónico / Facebook

Me gustaría tener el correo electrónico de los alumnos de la asignatura. Para ello os pido que me enviéis un correo donde pongáis vuestro nombre y la dirección de correo que queráis usar para contactar.

Por otro lado, tengo una cuenta en Facebook. En ella he creado un "grupo" llamado Topología I. Invito a los alumnos de la asignatura a unirse a dicho grupo. Como ya sabéis, desde un grupo, se puede interrelacionar con las demás miembros de diversas maneras. Como característica principal que tiene es que sólo es para los alumnos de la asignatura (a diferencia, por ejemplo, del blog). Y segundo, que la temática gira en torno a la asignatura de Topología I.

Sólo tenéis que tener una cuenta en Facebook, y querer unirse al grupo que está en mi cuenta (Rafael López Camino). Pienso que puede ser una experiencia interesante. Y siempre se tiene la posibilidad, en caso de que no funcione, de eliminar el "grupo".

viernes, 2 de octubre de 2009

El comienzo de la asignatura ha sido...

Esta entrada es corta. Me gustaría saber vuestra impresión de los primeros días de la asignatura de Topología I.

Sobre numerabilidad

(Una historia sacada por Nico Pérez de internet)


METAFORA DEL HOTEL DE LAS INFINITAS HABITACIONES

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema adiscutir: cuántas habitaciones tendría."

—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya nosería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.
—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningúnotro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomócomo medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Infinito más uno

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.

Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agenciade viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacersitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes quese mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una.

"¡Qué enorme problema sepresenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo (p distinto de1) o alguna potencia de éstos (pn), les pidió que elevaran el número 2 al número dela habitación en la que se encontraban ((pn)2) y se cambiaran a esa habitación.

Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (distinto de 1), acada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión(t) lo que da pt.

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

jueves, 1 de octubre de 2009

Algo de historia

En la topología se estudian, por un lado, aquellos espacios en los que se tiene una noción de vecindad para cada uno de sus puntos, llamados espacios topológicos, y por otro lado las funciones entre ellos que respetan esta noción de cernacía, llamadas funciones continuas.

Originalmente la topología se conoció como Analysis Situs, nombre debido a Wilhem Leibniz (1646-1716). Su idea de la topología la encontramos en el siguiente párrafo escrito por Leonard Euler (1707-1783): Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue W. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencinó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición...

El párrafo anterior es la introducción del artículo en el que se da la solución del famoso problema de los Puentes de Königsberg en 1726 y que consiste en dar una condición necesaria y suficiente para que una gráfica (poliedro de dimensión 1) pueda ser trazada con una línea continua recorriendo cada arista una sola vez. Este artículo se considera como el primer trabajo de topología.

El concepto de espacio topológico fue surgiendo de los trabajos de varios matemáticos, como Riemann (1822-1866) y Cantor (1845-1918), quien definió loa conceptos de punto interior, punto frontera, punto de acumulación, etcétera, para espacios euclidianos. En 1906 Fréchet (1878-1973) define los espacios métricos y en 1913 Weyl sugiere el uso de vecindades para definir espacios topológicos. Finalmente, en 1914, Hausdorff (1868-1942) define las propiedades adecuadas que deben satisfacer las vecindades.

Más en: http://www.matem.unam.mx/rollos/topologia.html

(por Judyt)