lunes, 26 de abril de 2010

Compactificación de Alexandrov de la topología del punto incluido

Cuando hacemos ejercicios con la compactificación de Alexandrov de un espacio $X$, usualmente tomamos $X$ como un subconjunto de $R^n$ con la topología usual (a ser posible abierto o cerrado). Entonces X es Hausdorff y localmente compacto y podemos usar el teorema de caracterización.

Propongo "compactificar" uno de los espacios tan trabajados en clase como es un conjunto con la topología del punto incluido. La pregunta que hago es qué sería la compactificación de Alexandrov de dicho espacio. Por si queréis centraros más, podemos poner $X$ la recta real y el punto fijo $p=0$.

Primero hay que añadir un nuevo punto, el "infinito". También hay que calcular los conjuntos cerrados, y también de ellos, los que son compactos. Seguir...

lunes, 19 de abril de 2010

Compacidad y magia añadiendo un punto

En clase hemos considerado este ejemplo. Sea $(X,T)$ un espacio topológico cualquiera y sea p un objeto que no pertenece a $X$. Consideramos ahora $X^*=X\cup \{p\}$ y la topología $T^*$ es $T$ junto con $X^*$. Dos hechos importantes:
1. La topología inducida en $X$ es la que ya había, es decir, $T$.
2. El espacio $(X^*,T^*)$ es compacto.
Con este ejemplo mostramos que añadiendo un único punto a un espacio (pensemos que no fuera compacto) el nuevo espacio es compacto con el hecho IMPORTANTE que la topología inducida en X NO ha cambiado. Esto quiere decir que siempre podemos "colocar" un espacio en otro que sí es compacto añadiendo sólo un punto. La pena en este ejemplo es que el espacio no es Hausdorff, cosa que siempre aspiramos (por la unicidad de límites en sucesiones convergentes, por ejemplo).
El otro ejemplo era el de la anterior entrada. En este caso, el espacio original, a saber, $[0,1]$, ya era compacto. Sin embargo, el nuevo espacio, el que se ha formado añadiendo un nuevo punto es compacto y la topología inducida en $[0,1]$ es la que ya había (en este caso, la topología usual).

jueves, 15 de abril de 2010

La compacidad del 73

Ya he comentado varias veces en clase el libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach. Ver también http://topologia-i.blogspot.com/2009/03/separacion-algunos-ejemplos.html
Aparecen 143 espacios topológicos a los cuales se les estudia si satisfacen o no propiedades topológicas, poniendo en una (gran) tabla de dos entradas, por un lado el espacio topológico, y en el otro, la propiedad. Ponen 1 si la satisface y 0 si no: ver las páginas 170 a 179.
Como estamos ahora con la compacidad, me fijo en el número 73, el que llaman "Telophase topology". El espacio es el siguiente. Sea $X=[0,1]\cup\{p\}$, donde $p$ es un objeto que no está en X. La topología T se define por bases de entornos. Para los puntos de $[0,1]$, la base es la de la topología usual. Y para el punto p es la formado por los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$, donde a está en $[0,1)$. Puede probarse que una base $\beta$ es la formada por los de la base usual en $[0,1]$ junto los conjuntos de la forma $(a,1)\cup\{p\}$.
También es obvio que la topología inducida en $[0,1]$ es la topología usual, es decir, $T_{[0,1]}=\tau_u$.
En el libro, para la compacidad del 73 ponen 1. Efectivamente, el espacio es compacto. Tomamos un recubrimiento por elementos de la base $\beta$ del espacio. Uno de ellos, debe contener al punto p, luego ése es de la forma $O=(a,1)\cup\{p\}$ para algún $a\in[0,1]$. El resto de abiertos recubre el conjunto $[0,a]$, que es compacto: ¡la topología inducida en $[0,a]$ por $T$ coincide con la usual!, y sabemos que $[0,a]$ es compacto. Por tanto, existirá un subrecubrimiento finito. Si a ese recubrimiento le añadimos $O$, hemos acabado.
Dejo la pregunta sobre la compacidad local ¿es Hausdorff?

jueves, 8 de abril de 2010

Compacidad, cerrados, Hausdorff

En clase se ha probado que en un espacio Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Si el espacio no es Hausdorff, no es cierto el resultado. Un ejemplo sencillo es tomar cualquier espacio topológico finito. Entonces todo conjunto es compacto, al ser finito, pero no todo conjunto es cerrado (a no ser que el espacio tenga la topología discreta). Otro ejemplo sería un conjunto con la topología de los complementos finitos. Se sabe que la topología inducida en todo subconjunto es de nuevo la topología cofinita, es decir, todo subconjunto es compacto. Sin embargo, si el conjunto no es finito, no es cerrado ¿Podéis encontrar más ejemplos?

La otra pregunta que dejo es la de encontrar espacios que no sean Hausdorff de forma que todo conjunto compacto sea cerrado.

Por cierto, Hausdorff fue un matemático alemán que vivió hasta los años cuarenta y con un triste final (http://personal.us.es/arias/TM/06-Hausdorff.pdf y http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hausdorff.html).