martes, 27 de octubre de 2015

Sumando abiertos y sumando cerrados en la recta euclídea


En ${\mathbb R}$, la suma de dos conjuntos abiertos es un abierto, concretamente, si $A,B\in\tau_u$, entonces $$A+B=\{a+b: a\in A,b\in B\}$$ es un abierto puesto que se expresa como unión de abiertos, a saber,
$$A+B=\cup_{a\in A}h_a(B),$$
donde $h_a(x)=x+a$, es decir, es una traslación. Pero sabemos que las traslaciones son homeomorfismos con la topología usual, luego lleva abiertos en abiertos.

 Esta propiedad no sucede con la suma de cerrados. Por ejemplo, si $F_1={\mathbb N}$ es el conjunto de los números naturales y  $F_2=\{-n+1/n:n\in {\mathbb N},n\geq 2\}$, entonces $F_1$ y $F_2$ son cerrados, pero  $F_1+F_2$ contiene a la sucesión  $\{1/n\}$, cuyo límite es $0$, y $0\not\in F_1+F_2$. 

sábado, 17 de octubre de 2015

Topología relativa de la topología a derechas


La topología del orden a derechas $\tau_r$  en un conjunto ordenado $(X,\leq)$ que no tiene máximo es la que está generada por $\beta=\{[x,\rightarrow):z\in X\}$, donde $[x,\rightarrow)=\{y\in X:x\leq y\}$. Si consideramos ${\mathbb R}$ con su orden usual, entonces $[x,\infty=[x,\infty)$. En este blog hemos llamado a esta topología la topología a derechas. Veamos cómo son las topologías relativas.

Si $A\subset{\mathbb R}$, su topología $\tau_r^A$  del orden a derechas tienes por base  $\beta^A=\{\{[a,\rightarrow)^A\}\}$, donde ahora  $[a,\rightarrow)^A=\{x\in A:a\leq x\}$. Por otro lado,  la topología relativa $(\tau_r)_{|A}$ tiene como base $\beta_{|A}=\{[x,\infty)\cap A:x\in{\mathbb R}\}$. Veamos que
$$\tau_r^A=(\tau_r)_{|A}.$$
Ya que  $[a,\rightarrow)^A=[a,\infty)\cap A$, entonces $\beta^A\subset\beta_{|A}$. Esto prueba que $\tau_r^A\subset (\tau_r)_{|A}$.

Para la otra inclusión, sea $[x,\infty)\cap A\in \beta_{|A}$, donde $x\in {\mathbb R}$. Veamos que este conjunto es abierto en $\tau_r^A$ probando que todo punto suyo es un punto interior. Efectivamente, si $a\in [x,\infty)\cap A$, entonces $x\leq a$ y por tanto, $a\in [a,\rightarrow)^A\subset [x,\infty)\cap A$: como $[a,\rightarrow)^A\in\tau_r^A$, entonces $x$ es interior a $[x,\infty)\cap A$ en $\tau_r^A$. Esto quiere decir $(\tau_r)_{|A}\subset\tau_r^A$.

viernes, 9 de octubre de 2015

Quitando elementos de una base

Sabemos que si a una base de una topología le añadimos  más abiertos entonces obtenemos otra base. Por supuesto, siempre buscaremos bases con pocos elementos. ¿Qué sucede si quitamos elementos? Es evidente que la nueva familia puede dejar de ser base, pero pongamos el siguiente ejemplo.

Supongamos que $\beta$ es una base donde el conjunto vacío o el conjunto total están. ¿podemos quitarlos y nos quedará base? En el caso que tengamos el conjunto vacío, podemos quitarlo y nos va a quedar una base. Efectivamente, sea $\beta'$ la familia obtenida de quitar a  $\beta$ el conjunto vacío. Observemos que $\beta'$ tiene elementos, y si un abierto (no vacío) era unión de elementos de $\beta$, si estaba el vacío, lo quitamos, y nos queda una unión de elementos de elementos ahora sólo de $\beta'$ que sigue siendo el abierto. Y si el abierto que cogemos es el vacío, ... (dejo los detalles).

Sin embargo si en $\beta$ está el conjunto total, puede suceder que al quitarlo  no tengamos una base. Un ejemplo lo tenemos en la topología de Sierpinski $(X,\tau)$, con $X=\{a,b\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}$. Entonces $\tau$ es una base, pero no así $\{\emptyset,\{a\}\}$, pues al hacer las uniones arbitrarias tenemos de nuevo $\{\emptyset,\{a\}\}$. Otro ejemplo que os dejo es la topología del punto excluido, donde en toda base necesariamente tiene que estar el conjunto total.

Concluyendo, a veces es necesario que la base contenga al abierto más grande, es decir, el conjunto total.

domingo, 4 de octubre de 2015

Siguiendo con adherencia y acotación

Podemos plantear la entrada anterior en otras topologías definidas en la recta real ${\mathbb R}$. Por un lado, para hablar de acotación tenemos decir respecto de qué distancia. Como antes, vamos a considerar la distancia usual. Una primera topología a considerar es la topología de Sorgenfrey. Es fácil ver que la misma propiedad que había para la topología euclídea se satisface para los intervalos. Dejo el problema de si es cierta en general.

Otra topología que podemos tomar es la que tiene por base $\beta=\{[a,\infty):a\in{\mathbb R}\}$. Si $A=\{0\}$, entonces $\overline{A}=(-\infty,0]$, que no está acotado inferiormente. Además, los ínfimos no coinciden, siendo el de $\overline{A}$ $-\infty$ (los supremos sí son iguales). En esta topología podemos preguntarnos de nueva si es cierta la propiedad de la entrada anterior, y como antes, los primeros conjuntos a estudiar son los intervalos: la ventaja aquí es que podemos determinar fácilmente la adherencia de estos conjunto en esta topología.

¿Y respecto del interior? Pongamos el mismo ejemplo de conjunto $A$. Entonces $int(A)=\emptyset$, pero $\inf(\emptyset)=+\infty$ y por tanto, $\inf(A)<\inf(int(A))$, a pesar de que ¡¡¡$int(A)\subset A$!!! (el mismo ejemplo vale para la topología usual).