viernes, 19 de diciembre de 2014

Continuidad de una aplicación que llega a un espacio cociente

Al estudiar la continuidad de aplicaciones relacionándolo con la topología cociente, el resultado que se tiene se refiere a aplicaciones que tienen como dominio un espacio cociente: basta con componer con la proyección para ver si es continua. Entonces el problema se transforma en uno sobre continuidad entre espacios 'no cocientes'. ¿Qué pasa si en el codominio tenemos una topología cociente?
Un ejemplo de la situación es la siguiente. En ${\mathbb R}$ con la topología usual $\tau$ consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que identifica todos los puntos del intervalo $A=[3,5]$, es decir, $$[x]=\left\{\begin{array}{ll}\{x\} & \mbox{si $x\not\in A$} \\ A & \mbox{si $x\in A$}\end{array}\right.$$  Definimos $$f: {\mathbb R}\rightarrow \frac{{\mathbb R}}{\sim}, \ \ f(x)=[x^2].$$ Para estudiar la continuidad, veamos cuál es la imagen inversa de abiertos. Sea $G\in\tau/\sim$. Entonces $$f^{-1}(G)=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in G\}.$$
Pero ¿cómo son los abiertos en $\tau/\sim$? El abierto $G$ es la imagen mediante la proyección $p:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}/\sim$ de un abierto $O\in\tau$ que es saturado, es decir, $O=p(G)$. Un abierto de este tipo satisface que si $x\in{\mathbb R}$ tiene la propiedad de que $x\sim y$, donde $y\in O$, entonces $x\in O$.  Por tanto, si el abierto $O\in\tau$ no interseca a $A$, entonces es saturado; es caso contrario, $O$ contiene a $A$. Así el abierto $(0,2)$  es saturado, pero no el intervalo $(1,4)$.
Volvamos al ejercicio. Se tiene $$f^{-1}(G)=f^{-1}(p(O))=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in p(O)\}=
\{x: \exists z\in O, x^2\sim z^2\}.$$ Tomamos el abierto $G=p(O)$, donde $O=(1,2)$: como $O\cap A=\emptyset$, entonces $O$ es saturado, y $G\in\tau/\sim$. Al hacer los cuadrados, obtenemos el intervalo $(1,4)$, y el conjunto de números relacionados por $\sim$ es $(1,5]$. Entonces, se puede observar que $$f^{-1}(G)=[-\sqrt{5},-1)\cup (1,\sqrt{5}],$$que no es abierto, probando que $f$ no es continua.

miércoles, 17 de diciembre de 2014

Más de lo mismo, cambiando un poquito

Modifico el ejemplo anterior cambiando la forma de la aplicación. Si ahora $f$ viene dada por $f(x,y)=-x+y$, con $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow (\mathbb R},\tau_S),$$
entonces la aplicación no es continua. La razón es que hay abiertos cuya imagen inversa no es abierto, en verdad, ninguna imagen inversa es abierto.
Las diferencias son las siguientes. La imagen inversa son de nuevo la banda entre dos rectas paralelas, incluida la recta de abajo y no la de arriba, y éstas tienen pendiente $1$, es decir, paralelas a la recta $y=x$. Al hacer $f^{-1}([m,n])$, y calcular los puntos interiores (para ver si coincide con el conjunto, el mismo razonamiento que se hizo en la entrada anterior prueba que todos los puntos de $f^{-1}((m,n))$ son interiores, es decir, la banda estrictamente entre las dos rectas (el argumento es pasando por la topología usual). Sin embargo los puntos de la recta $y=x+n$ (la recta de abajo) no son interiores. Para ello, tomamos como base de entornos de dicho punto los rectángulos que tienen como vértices de abajo izquierda el punto, es decir $$\beta_{(x,y)}=\{[x,x+r)\times [y,y+s): r,s > 0\}.$$ Entonces cualquier rectángulo de este tipo no está contenido en el conjunto: por ejemplo el punto $(x+r/2,y)$, que está en el rectángulo,  no pertenece a $f^{-1}([m,n])$ pues $$-(x+\frac{r}{2})+y=-x+\frac{r}{2}+x+m=\frac{r}{2}+n > n.$$ La conclusión es que pequeñas diferencias de la aplicación, hacen que ésta deje de ser continua.

lunes, 15 de diciembre de 2014

Seguimos con la continuidad en la topología producto

Vuelvo a la aplicación $f(x,y)=x+y$, vista como  $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S).$$Ahora hemos puesto en el dominio la topología producto de la de Sorgenfrey por ella misma, y en el codominio, $\tau_S$. De nuevo, y ésta es una de las claves para realizar este ejercicio, es que podemos hallar la imagen inversa de intervalos: $$f^{-1}([m,n))=\{(x,y):m \leq x+y < n\}$$ que es la 'banda inclinada' entre las rectas $y=-x+m$ e $y=-x+n$, conteniendo a la recta $y=-x+m$, pero no a la recta $y=-x+n$. Volviendo a recordar: si probamos que la imagen inversa de de estos elementos son abiertos, es suficiente para demostrar la continuidad de la aplicación.
Hay que probar que esta banda es un conjunto abierto en $\tau_S\times\tau_S$ (¡no hay que probar que pertenece a la base $\tau_S\times\tau_S$!). Esta base está formada por rectángulos de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Entonces es fácil darse cuenta que dado un punto  $(x,y)\in f^{-1}([m,n))$, entre él y la banda se puede encontrar un rectángulo de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Esto con un dibujo es fácil. Para los puntos entre la dos rectas, sin contener a éstas, aparte de un pequeño dibujito, también de puede hacer del siguiente modo: la banda sin las rectas es un conjunto abierto en la topología usual (ejercicio); la topología usual de ${\mathbb R}^2$ es la topología producto $\tau_u\times\tau_u$; la topología $\tau_u$ de ${\mathbb R}$ es menos fina que $\tau_S$, es decir, $\tau_u\subset\tau_S$; por tanto $\tau_u\times\tau_u\subset\tau_S\times\tau_S$, que era lo que se quería probar.
Quedaría probar que los puntos de la banda $y=-x+m$ son interiores a la banda en la topología $\tau_S\times\tau_S$. De nuevo, repito, un dibujo lo prueba fácilmente. Que uno quiere encontrar con 'fórmulas' dicho abierto, basta tomar un rectángulo cuyo vértice de la izquierda abajo sea el punto $(x,y)$: podría valer $$(x,y)\in [x,x+\frac{n-m}{2})\times [y,y+\frac{n-m}{2})\subset f^{-1}([m,n)).$$

sábado, 6 de diciembre de 2014

Continuidad en espacios productos (III)

Seguimos con la misma aplicación considerando $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_u\times\tau_u)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_i).$$
Para estudiar la continuidad, no vamos a tomar todos los abiertos de $\tau_i$, sino sólo una base. Tomamos la base $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. La razón es que cada uno de estos abiertos tiene sólo dos elementos. La aplicación será continua si la imagen inversa de los elementos de $\beta_i$ es un abierto en la topología $\tau_u\times\tau_u$. Recordemos que $\tau_u\times\tau_u$ es la topología usual de ${\mathbb R}^2$, como espacio euclídeo.

Tenemos ahora $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}=\{y=-x+1\}\cup\{y=-x\}.$$ Es decir la imagen inversa son dos rectas paralelas. Sin embargo, dicho conjunto nunca es abierto (por ejemplo, debería incluir a bolas euclídeas, lo cual no es cierto). Esto prueba que $f$ no es continua. Es más, esto prueba que en ningún punto la aplicación $f$ es continua.

viernes, 5 de diciembre de 2014

Continuidad en espacios productos (II)

En la entrada anterior, cambiamos en el codominio la topología, y ponemos la topología del punto incluido $\tau_i$ para el punto $p=0$. Ahora una base $\beta_i$ de $\tau_i$ es $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. Hacemos la imagen inversa de uno de estos elementos: $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}.$$ Si $x+y=a$, tenemos la recta $y=-x+a$ y si $x+y=0$, entonces $y=-x$. Por tanto, $f^{-1}(\{a,0\})$ son dos rectas (paralelas), una de ellas es $y=-x$. La cuestión ahora es si dicho conjunto es abierto.
Antes de seguir, observemos que no nos están preguntando si está en $\beta_i\times\beta_i$, es decir, en una base de la topología producto, si no en la topología que genera dicha base. Como no es fácil en un primer momento hallar dicha topología, es decir, hallar las uniones arbitrarias de elementos de $\beta_i\times\beta_i$, lo mejor parece ser estudiar qué puntos de $f^{-1}(\{a,0\})$ son interiores. Como teníamos una base de entornos, este trabajo no es difícil. Dado $(x,y)\in f^{-1}(\{a,0\})$, hay que probar $$\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\}).$$ Ahora bien, $(x,y)$ es $(x,-x+a)$ o $(x,-x)$.

En el primer caso, hay que probar que $\{(x,-x+a),(x,0),(0,-x+a),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$. Pero esto no es cierto: los puntos $(x,0)$ y $(0,-x+a)$ no tienen porqué estar.
 Para el segundo caso, tenemos que probar que $\{(x,-x),(x,0),(0,-x),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$, que tampoco es cierto en general.  Esto prueba que la aplicación no es continua.

Si queremos 'concretarlo', tomamos $O=\{1,0\}\in\tau_i$. Veamos que $f$ no es continua en el punto $(x,y)=(2,-2)$. Ya que $f(2,-2)=0$, entonces $O$ es un abierto (entorno) que contiene a $f(2,-2)$. Si fuera continua en dicho punto entonces $$\{(2,-2),(2,0),(0,-2),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{1,0\})$$
 pero $(2,0)\not\in  f^{-1}(\{1,0\})$, pues $f(2,0)=2$ que no es ni $1$ ni $0$.

jueves, 4 de diciembre de 2014

Continuidad en espacios productos


Vamos a estudiar la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto. Consideramos como dominio ${\mathbb R}^2={\mathbb R}\times{\mathbb R}$ y como aplicación $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$, $f(x,y)=x+y$. Lo que vamos a hacer es poner diferentes topologías tanto en el dominio como en el codominio, y en el dominio, una topología producto.

En esta entrada tomamos como topología en el dominio a ${\tau}_i\times\tau_i$, donde $\tau_i$ es la topología del punto incluido para $p=0$.  En el codominio, consideramos la topología usual $\tau_u$ de ${\mathbb R}$. Para estudiar la continuidad, hallamos la imagen inversa de la base usual de $\tau_u$. Sea un intervalo abierto $(a,b)$. Entonces $f^{-1}((a,b))=\{(x,y):x+y\in (a,b)\}$. Este conjunto es la banda que hay entre las rectas de ecuación  $y=-x+a$ y $y=-x+b$ (sin incluir los bordes). Sólo queda estudiar si dicho conjunto es abierto en ${\tau}_i\times\tau_i$. Una base de entornos de $(x,y)$ en ${\mathbb R}^2$ es
$$\beta_{(x,y)}=\{\{x,0\}\times\{y,0\}\}=\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}.$$
Pero $f^{-1}((1,3))$ no contiene al punto $(0,0)$. Por tanto, la aplicación no es continua.

Con el mismo argumento, concluimos que $f$ no es continua en $(x,y)=(1,1)$: aquí $f(1,1)=2$.

miércoles, 3 de diciembre de 2014

Continuidad en la topología de Sorgenfrey



Aplicamos el resultado de la entrada anterior a un ejemplo que he mostrado muchas veces. En la topología de Sorgenfrey $\tau_S$, estudiamos la continuidad de la aplicación $f:({\mathbb R},\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S)$ dada por $f(x)=x^2$.

Cuando hacemos $f^{-1}([a,b))$ para $a>0$, tenemos $$f^{-1}([a,b))=(-\sqrt{b},-\sqrt{a}]\cup [\sqrt{a},\sqrt{b}).$$
Este conjunto no es abierto, pues su interior es $(-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup [\sqrt{a},\sqrt{b})$. Por tanto, la aplicación no es continua en $x=-\sqrt{a}$. Ya que esto es válido para todos los intervalos de la forma $[a,b)$, con $a>0$, lo que hemos probado es que $f$ no es continua, al menos, en $(-\infty,0)$.

Efectivamente, vamos a verlo con más detalle para un punto concreto, por ejemplo, $x=-2$, y siguiendo la demostración (por contradicción) que se hizo en la entrada anterior. Sabemos que $f(-2)=4$ y tomamos como abierto de $4$ el conjunto $[4,5)$. Sabiendo que una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,x+r): r > 0\}$, si $f$ es continua en $x=-2$, existirá $r > 0$ tal que $f([-2,2+r))\subset [4,5)$. Además podemos cambiar dicho $r$ por otro positivo con $r < 1$. Sin embargo $f([-2,-2+r))=(\sqrt{-2+r},4]$, que no está incluido en $[4,5)$.

lunes, 17 de noviembre de 2014

Descubriendo puntos donde falla la continuidad


En las entradas anteriores, hemos usado el siguiente resultado:

Si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación, y $O'\in\tau'$ satisface $f^{-1}(O')\not\in\tau$, entonces $f$ no es continua en algún punto de $f^{-1}(O')$.

Efectivamente, si $f^{-1}(O')$ no es un abierto es porque existe $x\in f^{-1}(O')$ que no es interior a $f^{-1}(O')$. Veamos que $f$ no es continua en $x$.  Como $O'$ es un entorno de $f(x)$, si $f$ fuera continua en $x$, existiría un abierto $O\in\tau$, con $x\in O$, tal que $f(O)\subset O'$. Pero es claro entonces que $$x\in O\subset f^{-1}(f(O))\subset f^{-1}(O')$$probando que $x\in int(f^{-1}(O'))$: contradicción.


Además hemos probado algo más: en los puntos $f^{-1}(O')-int(f^{-1}(O'))$, la aplicación no es continua.

domingo, 16 de noviembre de 2014

Continuidad de una función a trozos (III)


Seguimos con las entradas anteriores. Tomamos la aplicación inicial
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x \geq  0\\ -1 &x <  0\end{array}\right.$$y tomamos la topología usual tanto en el dominio como el codominio. Ya sabemos de hace años que esta aplicación no es continua en $x=0$: por ejemplo, se puede ver tomando sucesiones y usando la caracterización de que $f$ es continua en $x$ si para toda $\{x_n\}\rightarrow x$, entonces $\{f(x_n)\}\rightarrow f(x)$.
La idea de esta entrada es probar que $f$ es continua en todos los puntos excepto en $x=0$, usando los nuevos conceptos topológicos que tenemos. Así, y usando bases de abiertos, concretamente, la base $\beta=\{(a,b): a < b\}$, es evidente que $f^{-1}((0,2))=[0,\infty)$ y que no es abierto en la topología usual. Sin embargo, si tomamos un intervalo de la forma $(a,b)$ que no contenga a $1$, entonces la imagen inversa es vacía o es $(-\infty,0)$, que sí es abierto. Pero ¿en qué puntos no es continua?

En principio, para los puntos cuya imagen es $-1$, la aplicación es continua (pensar porqué).

Tomamos como base de entornos, los intervalos abiertos centrados en el punto, es decir, $\beta_x=\{(x-r,x+r): r > 0\}$. Veamos que $f$ no es continua en $x=0$. Tomando $V'=(1/2,2)\in\beta_{f(0)=1}$, no hay $r>0$ tal que $f((-r,r))\subset V'$, pues $f((-r,r))=\{-1,1\}$.
Veamos que es continua si $x>0$. Dado $r > 0$, tomamos $s=x-(x/2)$, que es positivo porque $x$ lo es. Entonces $$f((x-s,x+s))=\{f(x)\}=\{1\}\subset (1-r,1+r),$$probando la continuidad en $x$.

miércoles, 12 de noviembre de 2014

Continuidad de una función a trozos (II)


Seguimos con la entrada anterior, y cambiamos un poquito la aplicación. Ahora se define $f$ como
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x > 0\\ -1 &x \leq  0\end{array}\right.$$y tomamos de nuevo la topología de Sorgenfrey. Del mismo modo, tenemos ahora: $$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\
(0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $-1\not\in [a,b)$}\\
(-\infty,0]&\mbox{si $-1\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\
{\mathbb R}& \mbox{si $-1,1\in [a,b)$}
\end{array}\right.$$Como $(-\infty,0]$ no es un abierto (pensar porqué), la aplicación no es continua. La pregunta es ¿y en qué puntos no es continua? De nuevo, las mismas puntualizaciones hechas antes son válidas ahora. Para 'cazar' los puntos donde deja de ser continua, hay que tomar los puntos cuya imagen está en $(-\infty,0]$, es decir, en $x\leq 0$. O dicho de otro modo, $f$ es continua en todos los puntos del intervalo $(0,\infty)$ (razonar).

Ya que ahora estamos estudiando la continuidad punto a punto, tomamos la caracterización por bases de entornos, recordando que ahora $\beta_x=\{[x,b): b > x\}$.
Veamos que $f$ no es continua en $x=0$. Como $f(0)=-1$. Tomando $[-1,0)\in{\beta}_{f(0)}$, no existe $b > 0$ tal que $f([0,b))\subset [-1,0)$, pues $f([0,b))=\{-1,1\}$.
Veamos que $f$ es continua si $x\in (-\infty,0)$. Como $f(x)=-1$, sea $[-1,c)$ arbitrario. Tomando  $b=0$, entonces  $f([x,b))=\{-1\}\subset [-1,c)$, luego probado la continuidad en $x$.

martes, 11 de noviembre de 2014

Continuidad de una función a trozos

Consideramos la función $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ definida por $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\geq 0\\ 0 &x < 0\end{array}\right.$$Tomamos  en ${\mathbb R}$, tanto en el dominio como en el codominio, la topología que tiene por base $\beta=\{[a,b]: a < b\}$, es decir, la topología de Sorgenfrey.
En principio, no sabemos si es continua en todos los puntos. Para aplicaciones 'sencillas' como ésta, lo mejor es empezar a estudiar la continuidad global, y si no fuera continua, entonces estudiar punto a punto.  Antes de proseguir, tres puntualizaciones.
  1. Como venimos de primero con la topología usual, inmediatamente uno piensa algo parecido a lo siguiente: "el punto problemático es el punto $x=0$, porque hay un salto, y en los demás puntos, la aplicación es continua". Error. La topología no es la usual, y por tanto, el punto $x=0$ no es ni mejor ni peor que cualquier otro punto. Además, lo de 'salto' es si estamos con la topología usual.
  2. Como tenemos una base de la topología, usamos la caracterización de continuidad mediante bases.
  3. Una parte de este tipo de ejercicios, a veces difícil, es hallar imágenes inversas. Habitualmente, durante los estudios de matemáticas, no se han hecho muchos ejercicios (¿ninguno?) de hallar imágenes inversas, o lo que es parecido, de estudiar la sobreyectividad de una aplicación.
Lo fácil de este ejercicio es que la aplicación es constante a trozos, y por tanto, es muy sencillo hallar la imagen inversa. Sea un intervalo de la forma $[a,b)$. Entonces es inmediato:
$$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\
[0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $0\not\in [a,b)$}\\
(-\infty,0)&\mbox{si $0\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\
{\mathbb R}& \mbox{si $0,1\in [a,b)$}
\end{array}\right.$$ Ya que los intervalos $[0,\infty), (-\infty,0)$ son abiertos en la topología $\tau(\beta)$, la aplicación $f$ es continua.

jueves, 30 de octubre de 2014

Continuamos con sucesiones


Hacemos otro ejercicio parecido al de la anterior entrada, comparando la dificultad y las diferencias entre usar la definición para hallar el interior, y la caracterización por sucesiones. En general, la prueba por sucesiones es más 'fácil' que usar la propia definición.

Sea $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x\geq 0\}$. Este conjunto es uno de los  semiplanos que divide la recta $y=x$ al plano eculídeo ${\mathbb R}^2$, incluyendo el borde. Veamos que $int(A)= \{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x >  0\}$. Primero probamos que dichos puntos son interiores, y luego que no hay más puntos de $A$ que lo sean.

Sea $(x,y)$ tal que $y>x$. Sea ahora $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Hay que probar que la sucesión a partir de cierto término, se encuentra en $A$. Y ahora viene porqué es más 'fácil' usar sucesiones: porque se utilizar propiedades de convergencia de sucesiones de números reales. Así, si $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$, entonces $\{x_n\}\rightarrow x$ y $\{y_n\}\rightarrow y$. Y por tanto, $\{y_n-x_n\}\rightarrow y-x$. Como $y-x > 0$, tenemos una sucesión de números reales, a saber, $\{y_n-x_n\}$ que converge a un número positivo. Se sabe entonces que a partir de cierto lugar de la sucesión, los términos son todos positivos, es decir, a partir de cierto lugar, $y_n-x_n > 0$, y por tanto, $(x_n,y_n)\in A$.

Ahora queda probar que $(x,y)$ con $y=x$ no es un punto interior de $A$. Para ello hay que encontrar una sucesión con ningún elemento en $A$ que converja a $(x,y)$. Pero para ello basta tomar $\{(x,x-1/n)\}$ que converge a $(x,x)=(x,y)$, pero $(x-1/n)-x < 0$, luego no está en $A$.

miércoles, 29 de octubre de 2014

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo (II)


Volvemos a la entrada anterior y hallamos  el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ en $({\mathbb R}^2,\tau_u)$ usando sucesiones.

Probamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío. Por contradicción, supongamos que $(x,0)\in int(A)$. Por la caracterización mediante sucesiones, toda sucesión que converja a $(x,0)$, a partir de un cierto lugar de la sucesión, los elementos deben pertenecer a $A$. Tomamos la sucesión $\{(x,1/n)\}$. Es evidente que $\{(x,1/n)\}\rightarrow (x,0)$, pero ningún elemento de la sucesión está en $A$ ya que las ordenadas, a saber, $1/n$, nunca son cero.

Para la adherencia de $A$, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$, pero $y\not=0$. Vamos a llegar a una contradicción. Por sucesiones, debe existir una sucesión en $A$ que converja a $(x,y)$. Sea, pues, $\{(x_n,0)\}\rightarrow (x,y)$: observemos que las ordenadas de los elementos de la sucesión deben ser cero, pues el punto debe estar en $A$. Sabemos que una sucesión en ${\mathbb R}^n$ converge a un punto si y sólo si convergen las sucesiones de las coordenadas. Por tanto, $\{x_n\}\rightarrow x$ e $\{0\}\rightarrow y$. Pero de esta última convergencia se deduce que $y=0$: contradicción.

Os dejo que comparéis las dos demostraciones que se han hecho para este ejercicio, es decir, la de esta entrada y la anterior, y veáis cuál es más 'sencilla'.

martes, 28 de octubre de 2014

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo


Vamos a calcular el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ dentro del espacio topológico $({\mathbb R}^2,\tau_u)$, es decir, del plano euclídeo. Este conjunto no es más que el eje de abcisas del plano. Además vamos a hacerlo usando bases de entornos. Recordemos que en la definición de punto interior o punto adherente se usa el concepto de entorno. Aquí vamos a usar como bases de entornos las bolas centradas en el punto, es decir, si $(x,y)\in {\mathbb R}^2$, entonces $$\beta_{(x,y)}=\{B_r(x,y):r > 0\}$$ es base de entornos. El ejercicio se puede hacer bastante más rápido usando propiedades de la topología producto. También, y desde el punto de vista de espacios métricos, podemos usar las correspondientes caracterizaciones mediante sucesiones: esto lo haremos en la próxima entrada. Aquí nos limitamos a usar sólamente la definición.

Veamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío, o dicho de otro modo, $A$ no tiene puntos interiores. Supongamos que $(x,y)\in int(A)$. En particular, $(x,y)$ debe pertenecer al conjunto $A$ y por tanto, $y=0$. Supongamos que $(X,0)$ es interior. Por tanto, existe $r>0$ tal que $B_r(x,0)\subset A$. Pero es claro que el punto $(x,r/2)$ está en la bola, ya que su distancia a $(x,0)$ es $|(x,r/2)-(x,0)|=|(0,r/2)|=r/2 < r$ y que dicho punto no pertenece a $A$ pues $r/2\not=0$.

Probamos ahora que la adherencia de $A$ es el propio conjunto $A$. Ya que siempre $A\subset\overline{A}$, lo que estamos diciendo es que no hay puntos adherentes aparte de los de $A$. Por contradicción, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$ y que $y\not=0$. Entonces toda bola centrada en el punto interseca a $A$. Sin embargo hay bolas que no lo cumple, por ejemplo, las de radio $r=|y|$. Observemos que $r>0$ ya que $y\not=0$. Supongamos que $y > 0$ (el razonamiento es análogo si $y < 0$. Si $(a,b)\in B_r(x,y)\cap A$, entonces $b=0$ y $d((a,0),(x,y)) < r$. Pero entonces $$r > d((x,y),(a,0)=
\sqrt{(x-a)^2+y^2}\geq y=r,$$llegando a una contradicción.

jueves, 23 de octubre de 2014

Probando que varias topologías son las mismas


Sabemos que hay varias formas de definir un espacio topológico, por ejemplo, aparte de la topología, mediante bases de abiertos o bases de entornos. Vamos a poner una muestra con la topología del punto incluido.

Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto fijo. Si $x\in X$, denotamos $O_x=\{p,x\}$. Consideramos las siguientes tres topologías:

  1.  $\tau_1=\{O\subset X: p\in O\}\cup\{\emptyset\}$
  2.  $\tau_2$ es la topología que tiene por base $\beta_2=\{O_x:x\in X\}$.
  3.  $\tau_3$ es la topología que tiene por base de entornos para cada punto $x$, $\beta_x^3=\{O_x\}$.

Veamos que las tres topologías son iguales. Hay varias maneras de hacerlo porque a partir de la topología, o bases, o bases de entornos, se puede calcular el resto de elementos topológicos.  Por ejemplo, podemos hallar bases de entornos en cada una de las topologías, y usar la equivalencia de topologías mediante el criterio de Hausdorff. Lo que vamos a hacer en este caso es más aún: vamos a hallar una misma base de entornos en las tres topologías, y por tanto, las tres coinciden.

 Para cualquier  topología $\tau$, sabemos que una base de entornos de $x$ es la familia de todos los abiertos que contienen a $x$. Tomamos $\tau_1$. Entonces $\beta_x^1=\{O\in\tau: x\in O\}$, es decir, $\beta_x^1=\{O\subset X: p,x\in O\}$. Pero es evidente que de entre todos estos conjuntos $O$ que satisfacen que contienen a $p$ y a $x$, hay uno que es el más pequeño, y es claramente $O_x=\{p,x\}$. Por tanto, una base de entornos de $x$ para la topología $\tau_1$ es justamente $\beta_x^3$, es decir, coincide con la que define la topología $\tau_3$.

Para la topología $\tau_2$ (y sin calcular la topología $\tau_2$, es decir, la familia de todos los abiertos), hallamos una base de entornos usando un resultado que nos dice cómo se calcula una base de entornos a partir de una base de abiertos: una base de entornos de $x$ es la familia de elementos de $\beta_2$ que contienen a $x$. Por tanto, $$\beta_x^2=\{B\in\beta_2: x\in B\}=\{O_y:x\in O_y\}.$$ Ahora bien, dicho conjunto $O_y$ siempre contiene a $p$ y a $x$, por tanto, el conjunto $O_x$ es el más pequeño que hay entre todos ellos, y por tanto, forma base de entornos, es decir, $\beta_x^2=\{O_x\}$, que es de nuevo la base de entornos de la topología $\tau_3$.

Por tanto, al encontrar una misma base de entornos para las tres topologías, el resultado de unicidad prueba que las topologías coinciden.

martes, 21 de octubre de 2014

Construyendo bases


Consideramos de nuevo ahora la topología  definida  en   ${\mathbb N}$:
$$\tau=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$Vamos a calcular una base de la topología. De nuevo, lo que estamos preguntando es por una base que tenga 'pocos'  elementos. La base más grande (en número de elementos) es la propia topología $\tau$. Sea ahora una base $\beta$ una base de nuestra topología $\tau$.

Tomamos un abierto $A_n$. Sabemos que si $x\in A_n$, entonces existe un elemento $B\in\beta$ tal que $x\in B\subset A_n$. Elegimos como elemento $x$ el número natural $n\in {\mathbb N}$. Sea $B\in\beta$ tal que $n\in B\subset A_n$. Como $B$ es un abierto, entonces o es $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o un elemento de la forma $A_m$, con $m\in {\mathbb N}$. Es evidente que no puede ser el conjunto vacío ni ${\mathbb N}$. Por tanto, $n\in A_m\subset A_n$. Como $n\in A_m$, entonces $n\leq m$. Por otro lado, como $A_m\subset A_n$, entonces $$\{1,2,\ldots,m\}\subset\{1,2,\ldots,n\}.$$ Por tanto $m\leq n$. En particular, $n=m$. Esto prueba que $B$ tiene que ser $A_n$.

Como esto se ha hecho para todo $n\in {\mathbb N}$, entonces $\{A_n:n\in {\mathbb N}\}\subset\beta$. Esto quiere decir que $\beta$ contiene al menos $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$. Como conclusión, las únicas bases de este espacio topológico son $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$, y añadir $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o toda la topología. Por tanto, podemos decir que, esencialmente,  la única base es la propia topología. 

miércoles, 15 de octubre de 2014

Construyendo bases de entornos


Para las dos topologías de la entrada anterior, vamos a hallar una base de entornos. Recordamos las dos topologías definidas en   ${\mathbb N}$:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$ $$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$
Para hallar una base de entornos, precisamos algo más. Un punto en un espacio topológico tiene muchas bases de entornos: por ejemplo, dada una, le añadimos un entorno cualquiera del punto, resultando una base de entornos. Sin embargo, la nueva base de entornos ha incrementado su tamaño. Por tanto, lo que buscamos es una base de entornos con un número 'pequeño' de elementos.

Una forma 'standard' de construir bases de entornos de un punto $x\in X$ es considerar todos los abiertos que contiene al punto, y que denotamos por $\tau_x$:  $\tau_x=\{O\in\tau: x\in O\}$. Y a partir de ésta, intentar quitar elementos, si fuera posible. Veamos en nuestro caso.

Para la topología $\tau_1$, sea $m\in {\mathbb N}$. Es claro que $\tau_m^1=\{A_n:n\geq m\}$. Da la casualidad que cada uno de estos abiertos $A_n$ está incluido en otro $A_k$ si $k\geq n$. Por tanto, y es importante, existe un  abierto que es el más pequeño (respecto de la inclusión). Este abierto es justamente $A_m$. Por tanto, una base de entornos de $m$ es $\beta_m^1=\{A_m\}$.

Para la topología $\tau_2$, el razonamiento es análogo. Ahora $\tau_m^2=\{B_n: n\leq m\}$ y hay uno de estos abiertos más pequeño, el $B_m$. Por tanto, $\beta_m^2=\{B_m\}$.

Tener, como en este caso, bases de entornos ¡con sólo un elemento! facilita el trabajo en el espacio topológico. Por ejemplo, para hallar el interior de un conjunto $C$, y usando la caracterización por bases de entornos, entonces $m\in C$ es interior si $A_m\subset C$ (para $\tau_1)$ y si $B_m\subset C$ (para $\tau_2$). Cogiendo $C=\{3,4\}$ como en la entrada anterior, es evidente que ni $A_m$ ni $B_m$ están incluidos en $C$, luego el interior es el conjunto vacío. Del mismo modo se puede razonar para el exterior de $C$, ya que el exterior de $C$ es el interior del complementario.

martes, 14 de octubre de 2014

Cálculo del interior de un conjunto para dos topologías


En el conjunto de los número naturales ${\mathbb N}$, consideramos dos topologías:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$
$$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$Aquí $A_n=\{1,2,\ldots,n\}$ y $B_n=\{n,n+1,\ldots\}$.

Hallamos el interior,   exterior y frontera del conjunto $C=\{3,4\}$.

Empezamos con la topología $\tau_1$. El interior es el conjunto abierto más grande dentro de $C$. Ya ningún conjunto del tipo $A_n$ está incluido en $C$, el único abierto es $\emptyset$. Por tanto, $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, hallamos el interior del complementario de $C$. Éste es $\{1,2,5,6,\ldots\}$ y el abierto más grande dentro es $A_2=\{1,2\}$. Por tanto, $ext(C)=\{1,2\}$. Finalmente, la frontera es el complementario del interior y exterior, es decir, $Fr(C)=\{3,4,\ldots\}$.

Trabajamos ahora con la topología $\tau_2$.  De nuevo, no hay ningún conjunto del tipo $B_n$ dentro de $C$, luego $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, consideramos ${\mathbb N}-C=\{1,2,5,6,\ldots\}$. Es evidente que $B_5=\{5,6,\ldots\}$ es el abierto más grande, luego $ext(C)=B_5$. Y por tanto, $Fr(C)=\{1,2,3,4\}$.

Para la adherencia, y como $\overline{C}={\mathbb N}-ext(C)$, tenemos que la adherencia de $C$ para $\tau_1$ es $\{3,4,\ldots\}$ y para la topología $\tau_2$ es $\{1,2,3,4\}$. En ambos casos, la adherencia coincide con la frontera de $C$.

martes, 30 de septiembre de 2014

Más ejemplos de espacios topológicos


Seguimos con dos ejemplos de espacios topológicos. Sea $X$ un conjunto y $A\subset X$ un subconjunto que prefijamos. Definimos la topología como
$$\tau=\{O\subset X: A\subset O\}\cup\{\emptyset\}.$$Es decir, un conjunto es abierto en la topología $\tau$ si contiene a $A$. La prueba de que $\tau$ es una topología es muy fácil. Hacemos las siguientes observaciones:

  1. La intersección arbitraria de abiertos también es abierto.
  2. Un conjunto abierto es el que contiene a $A$, pero un conjunto cerrado no es aquél que no contiene a $A$.
  3. Un conjunto $F$ es cerrado si, por definición, $A\subset X-F$, es decir, $F\subset X-A$.
La otra topología que definimos es
$$\tau'=\{O\subset X: O\subset A\}\cup\{X\}.$$Por tanto, $\tau'$ coincide con la familia de cerrados de la topología $\tau$, es decir, $\tau'=\mathcal{F}$.

Finalmente, si tomamos $A=\{p\}$ un punto fijo, la topología $\tau$ la llamamos  topología del punto incluido. Para la topología $\tau'$, tenemos $\tau'=\{\emptyset,\{p\},X\}$. 

sábado, 27 de septiembre de 2014

Un ejemplo de espacio topológico


Empezamos el curso con un ejemplo un espacio topológico y que ha aparecido en el examen de septiembre. Consideramos el conjunto $X=[0,1]$ y la familia de abiertos es $\tau=\{(a,1]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$. La prueba de que $\tau$ es una topología es sencilla, pues la intersección de dos intervalos de la forma $[a,1]$ y $(b,1]$ es $(\max\{a,b\},1]$. Para la unión, consideramos $\{(a_i,1]:i\in I\}\subset\tau$. Entonces si $b=\inf\{a_i:i\in I\}$, se tiene $b\geq 1/2$ y
$$\cup_{i\in I} (a_i,1]=(b,1].$$
Probar esta igualdad que, aunque es fácil, hasta que uno no lo hace explícitamente, no se da cuenta de todos los detalles.

Por supuesto, la familia de cerrados es (¡comprobar!)
$${\cal F}=\{[0,a]:a\geq 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}.$$

Dejo dos ejercicios:

  1. Estudiar si $\tau'=\{(a,1]:a  > 1/2\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$. 
  2. Si  $0\leq c < 1$, estudiar si $\tau''=\{(a,1]:a\geq c\}\cup\{\emptyset,X\}$ es una topología en $X$.

jueves, 25 de septiembre de 2014

Continuando con el nuevo libro de topología


Siguiendo con el libro "Topología", los contenidos se refieren a un curso algo amplio de topología general, con un último tema sobre el grupo fundamental. Exactamente son:

1. Espacios topológicos. 2. Espacios métricos. 3. Aplicaciones continuas. 4. Homeomorfismos. 5. Topología producto e inicial. 6. Conexión. 7. Axiomas de separación. 8. Compacidad. 9. Espacios cocientes. 10. Espacios homogéneos y 11. Grupo fundamental.

Por último, y respecto del libro "Ejercicios resueltos de topología general", y como algunas personas me han dicho que está agotado, os informo que al menos en la librería Fleming hay ejemplares suficientes. El precio es 10 euros. Doy los datos de la librería:

Librería Fleming-Ciencias
Calle Motos Guirao, 2
ciencias@libreria-fleming.com
Motos Guirao 2.
tfno: 958 29 06 34

Me han dicho que iban a hacer un ¡pack de topología!, incluyendo los dos libros.

martes, 16 de septiembre de 2014

Nuevo libro de topología


El curso en la Universidad de Granada está a punto de empezar. Como novedad para mí, es que no voy a dar clases de topología, después de 8 años ininterrumpidos de enseñar topología en el segundo curso de matemáticas de la antigua licenciatura, y ahora en el nuevo grado en matemáticas.

Este blog empezó en el curso 2008/09, y he intentado a lo largo de estos años hacer un blog con una publicación de entradas que fuera regular en el tiempo, al menos, durante el periodo docente.

Justo ahora que dejo la enseñanza de la asignatura de topología, acabo de publicar un libro titulado "Topología" y editado por la Editorial Universitaria de Granada. Podéis ver más información aquí.




Este libro es un desarrollo extenso de los programas de topología de los últimos años, con más de 120 'ejemplos', que no son más que un tipo de 'ejercicios resueltos', y más de 75 figuras.

También es un complemento de mi libro de ejercicios de topología general:  en verdad, éste último recoge los ejercicios propuestos del que acabo ahora de publicar.

Para este blog, mi intención en este curso es poner algunos ejercicios/ejemplos que aparecen en el nuevo libro, con algunos comentarios para su resolución. Ya os daré más detalles en próximas entradas. Espero, para aquéllos que adquieran el libro que éste sea útil en su aprendizaje de la topología que, como digo muchas veces, la topología no es fácil.

viernes, 10 de enero de 2014

Quitando subconjuntos

A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a ${\mathbb R}^2$ le quitamos un conjunto $A$ dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, $A=\{(x,y):y=0\}$ o $A=\{(x,y):y-x^2=0\}$. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.

Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.

¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?

jueves, 9 de enero de 2014

Imagen continua de un conjunto no conexo

Sabemos que la imagen de un conjunto conexo mediante una aplicación es continua. Sin  embargo, si el espacio de partida no es conexo, puede ocurrir que sea o no sea conexo. Así, si $(X,\tau)$ es un conjunto no conexo, cualquier aplicación constante (que es continua), lleva el espacio en un punto, que es conexo. Veamos otro ejemplo, sin tomar una aplicación tan 'sencilla'.

Sea la función   $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
 

miércoles, 8 de enero de 2014

Quitando conjuntos

Hoy ha surgido la duda siguiente: sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y  $A,B\subset X$. Si $A\cong B$, ¿$X-  A\cong X-  B$? La respuesta es no.

Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.

Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}-  A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}-  B$ sí lo es.

Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2-  A\not\cong {\mathbb R}^2-  B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.

Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2-  $ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.
 

martes, 7 de enero de 2014

Quitando puntos hasta dejar de ser conexo


Dado un espacio topológico conexo, y vamos quitando puntos, ¿hasta cuándo dejará de ser conexo?
Para concretar un poco el problema, si empezamos con la recta euclídea ${\mathbb R}$, al quitar un punto, no es conexo (por no ser un intervalo). Por tanto, es empezar a quitar puntos, y al momento deja de ser conexo.
Bien diferente es empezar con el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$. Ya hemos visto en clase que al quitar un punto, es conexo (es homeomorfo al cilindro). Si quitamos otro más, es decir, ${\mathbb R}^2$, menos dos puntos, también es conexo. Hay un ejercicio en la relación de problemas que dice que al quitar un conjunto numerable, entonces queda conexo.
Es evidente que si quitamos muchos, ya deja de ser conexo, por ejemplo, si quitamos una recta. Pero si vamos quitando uno a uno ¿dejará de ser conexo?