miércoles, 29 de abril de 2009

Espacios cocientes y embebimientos

Hemos definido varios conjuntos cocientes definiendo ciertas relaciones de equivalencia en un cuadrado X. Por ejemplo, hemos "definido" bandas de möbius, toros, cilindros, planos proyectivos, etc. Sin embargo, estos nombres ya han aparecido anteriormente.

Por ejemplo, un toro. Hemos definido un toro T como la superficie de un donuts. En el tema 3 vimos que T era homeomorfo al producto de dos círculos S^1 x S^1. Por tanto, cuando escribimos el conjunto cociente



¿Qué quiere decir que este conjunto X/R es un toro T?

Quiere decir que dicho conjunto cociente es homeomorfo al toro del espacio euclídeo, es decir, existe un embebimiento f:X/R\rightarrow R^3 tal que f(X/R)=T. Concretamente, ese embebimiento es el que aparece en la siguiente sucesión de figuras.




Cuando decimos que la botella de Klein no se puede embeber en el espacio quiere decir que no hay un embebimiento f del correspondiente conjunto cociente X/R en R^3. Las figuras que podéis ver en internet no son homeomorfas a la botella de Klein. Por ejemplo, en la entrada de ayer hay dos enlaces adecuados para ello.

La propiedad de embebimiento falla en el momento que la figura que aparece se autointerseca, pues entonces la aplicación f deja de ser inyectiva.




Hay que hacer dos observaciones. La primera es que lo mismo que le sucede a la botella de Klein pasa con el plano proyectivo. La segunda es que ambos espacios sí se pueden embeber en R^4.

martes, 28 de abril de 2009

La botella sin interior ni exterior

La botella de Klein, además de ser una pieza decorativa bastante bonita es a su vez un fenómeno matemático asombroso. Su concepto está fuertemente relacionado a la tira de Möbius y es ni más ni menos que una superficie no orientable que no tiene exterior ni interior.

Gracias a la ayuda de computadoras y los avances en la producción del vidrio hoy en día se pueden tener modelos “reales” muy similares de dicha superficie, pudiendo ser utilizadas justamente como botellas comunes y silvestres, la diferencia es que el contenido con el que la carguemos estará técnicamente en el interior y el exterior del botella al mismo tiempo.

Las botellas de Klein no se pueden construir en el espacio tridimensional sin que se produzca una intersección. La figura muestra una de tales superficies que se autointersectan.

Un video donde se vé como se forma una botella de Klein es en:

También se puede jugar con la botella de Klein utilizando el ratón en:
(Por Estefanía)

lunes, 27 de abril de 2009

conferencias en formato pdf

Como ya se anunció la semana pasada, las dos conferencias que se dieron sobre la banda de Möbius y el teorema de los cuatro colores iban a ponerse a disposición de cualquiera. Exactamente, las podéis encontrar en formato pdf en la página de internet de la profesora Marta Macho:

Espero que disfrutéis con ellas.

viernes, 24 de abril de 2009

Las dos conferencias

Esta semana ha acabado con dos conferencias de divulgación, es decir, de las que entiende cualquiera. Ha sido la profesora Marta Macho (UPV-EHU) la que nos ha ofrecido dichas charlas ayer y hoy.
La primera fue sobre la banda de Möbius y nos decía, entre otras cosas, que dicho objeto aparece en diferentes aspectos que nos rodea, a veces sin querer.



La segunda ha sido hoy sobre el teorema de los cuatro colores (problema que cualquiera de la calle entiende de qué va). Espero que hayáis sacado la conclusión de que una cosa es plantear un problema (matemático) y otra resolverlo, incluso siendo muy fácil el enunciado del problema. Y una curiosidad en este caso es que se resuelve en ambientes "más difíciles", como la botella de Klein, o en superficies con muchos agujeros, y ha costado más esfuerzo en el caso "sencillo" del plano.

El concepto de banda de Möbius va a permitir empezar el último tema de la asignatura, definiendo directamente el plano proyectivo y la botella de Klein.

Me gustaría que dierais vuestras opiniones sobre ambas charlas.

miércoles, 22 de abril de 2009

A los que visitan este blog

Este blog se construyó como una bitácora de la asignatura Topología de la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Granada. Sin embargo, la mayor parte de las personas que lo visitan no son alumnos de esta asignatura, es más, son "los menos". Lo aclaro.

Aproximadamente el 65% de los visitantes no provienen de España, casi en su mayoría de paises lationamericanos, especialmente de Colombia, Perú, Chile, Argentina y México. De los que proceden de España, un tercio son de la provincia de Granada. Esta cifra tiene su lógica: es de esperar que parte de los visitantes sean los alumnos de la asignatura (10'25% del total). Sin embargo, esto es un blog, y cualquier persona puede visitarlo. Y hay mucha gente en el mundo que estudia topología, lo cual explica las cifras anteriores.

A esas personas que visitan el blog, y que no son alumnos de la asignatura, les digo que, evidentemente, pueden realizar comentarios a las entradas del blog. Muchas de ellas son preguntas que se dejan al aire, alguien responde, y se producen nuevas entradas como reacción a la primera, etc. También pueden preguntar o comentar sobre cualquier aspecto que se trate, etc. Sólo pido dos cosas: que se refiera a la entrada y otra que se identifique en "usuario", para que todos nos podamos conocer. Resumiendo, la participación en el blog está abierta a cualquier persona, no sólo a los alumnos de la asignatura.

Para acabar esta entrada, quiero hablar un poco de lo que está siendo este blog. En el origen de la era internet, los blogs se idearon como "diarios".Como administrador de este blog, ésta es la función que intento que tenga este blog, es decir, de diario, concretamente en dos sentidos. Primero, que haya una entrada casi cada día (lo cual a veces no es fácil, por ejemplo, pensando en vacaciones, fines de semana, etc). Y segundo, que desarrolle algún aspecto tratado en clase ese día. Con ello me refiero a aclarar algo que ha quedado difuso en clase, o poner un nuevo ejemplo, a realizar nuevas preguntas, etc.

El concepto de blogs está cambiando últimamente y de forma rápida. No sólo consiste en un diario, sino que se añaden nuevas facetas. En nuestro blog esto se manifiesta en que aparecen "contenidos de la asignatura", tales como: apuntes teóricos, exámenes propuestos, enlaces a otras páginas webs que tratan topología, etc. En este sentido, los blogs se parecen a páginas webs de profesores y/o de asignaturas, es decir, un sitio en internet donde el profesor aporta contenidos, y el visitante (el alumno) toma aquéllos que más les interese. En mi caso, y como ya habréis comprobado, parte de estos contenidos están en la página web de la asignatura que tengo en http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/topologia08-09/topologia08-09.htm

Algunos noes. No se trata pues de repetir de nuevo lo explicado en clase. No es un lugar en internet de "resolver dudas de topología": para ello están las consultas a los profesores a través del correo electrónico, las horas de tutoría en el despacho, etc. No es un "almacén de topología general", es decir, en este blog no se encuentra toda la "topología general". No es un blog sobre "el mundo de la topología", sino es un blog de una asignatura, y en esta asignatura estudiamos topología, dentro del marco de los estudios en Matemáticas.

Por último una petición de participación: la riqueza de un blog, su utilidad y su éxito se basa en la participación de los visitantes.

Gracias a todos vosotros.

martes, 21 de abril de 2009

Esta semana...

Como ya sabéis, esta semana va a haber dos conferencias relacionadas con la asignatura de Topología. Ya habréis visto en la Facultad anuncios de las mismas. Las horas de clase que teníamos el jueves y viernes se cambian por dichas conferencias. Así se hace la semana más llevadera, y hacemos un pequeño "descanso" de la asignatura, antes del último empujón del último tema.

La primera conferencia es sobre la banda de Möbius. He puesto una introducción de la misma, en formato Power-Point, en el hall de la Facultad. Es una presentación que tranquilamente la podéis ver sentados en los asientos que se encuentran al lado de la pantalla. Acompaña música para que sea más agradable.

La segunda es sobre el teorema de los cuatro colores (un teorema 10). Es un teorema con mucha historia y consecuencias.

Para que tengáis una información por escrito, he realizado pósters de ambas conferencias. Están colocados al lado de la puerta del Salón de Grados, y en el hall de la Facultad, al lado de la pantalla de proyección.

Para que las dos charlas sean fructíferas, sería adecuado que veáis la película y leáis los posters. De esa forma, se entenderá mejor las conferencias. Recordad que si os surge durante esta semana alguna duda, la podéis apuntar para preguntársela a Marta al final de las dos charlas.
También os animo a que animéis a vuestros amigos a que vayan, especialmente la primera, la de la banda de Möbius, ya que el Salón de Grados tiene capacidad para asimilar a más cantidad de personas.

La segunda charla se hace en el aula del otro grupo, a las 10. Sed puntuales porque la conferencia va a estar intercalada por las clases habituales de otras asignaturas. Y entre que se coloca el ordenador, nos sentamos, etc... podemos perder algún tiempo. Existe la posibilidad de que vaya mucha gente y no se quepa en el aula. En este caso, nos cambiaríamos al Salón de Grados.

Espero vuestra asistencia.

lunes, 20 de abril de 2009

Anuncio de dos conferencias

En el marco del proyecto de innovación docente donde este blog se enmarca, se van a celebrar esta semana dos conferencias. Ambas serán impartidas por la profesora Marta Macho, de la Universidad del País Vasco (UPV-EHU).

"Todo lo que siempre has querido saber sobre la banda de Möbius y no te has atrevido a preguntar". El jueves 23, a las 12 en el Salón de Grados.

"El teorema de los cuatro colores". El viernes 24, a las 10 en el aula M1.

Espero vuestra asistencia.

domingo, 19 de abril de 2009

Compacidad y finitud

Ya hemos comentado en numerosas veces la confusión de pensar que un espacio compacto es aquél que tiene un recubrimiento finito por abiertos: el hecho importante es cuándo se puede obtener uno finito de cualquier recubrimiento por abiertos.

No hay, en principio, relación entre compacidad y el cardinal del espacio, o el cardinal de cada uno de los abiertos. Sólo el hecho (trivial) de que si el espacio es finito, entonces el espacio es compacto (en verdad, cuando la topología es finita).

Mostramos ejemplos de espacios topológicos, todos ellos teniendo el mismo conjunto, a saber, el conjunto de los números naturales N. Este conjunto es infinito, pero con el cardinal infinito más pequeño (ser numerable).

Con la topología discreta, hay muchos abiertos que son finitos (los conjuntos finitos). Hay recubrimientos por abiertos infinitos, por ejemplo, por conjuntos A_n, con A_n el conjunto de múltiplos de n. Este espacio no es compacto.

Con la topología cofinita, todos los abiertos son conjuntos infinitos. La clave aquí es que cualquier abierto es casi todo N, y el casi significa, salvo un conjunto finito. Por tanto, este espacio es compacto.

Con la topología del punto excluido (con p=1), hay infinitos abiertos (cualquier conjunto que no contenga a p). Por tanto hay finitos e infinitos. La clave aquí es que dado un recubrimiento, el abierto que contiene a p, es todo el espacio. Es decir, en todo recubrimiento abierto, forzosamente está todo N. Por tanto, este espacio es compacto.

Con la topología T dada por los conjuntos A_n=\{n,n+1,n+2,...\}. Todos los abiertos (que hay infinitos) son infinitos. Aquí pasa como con el ejemplo anterior, que dado un recubrimiento, a la fuerza tiene que estar el conjunto A_1. Este espacio es compacto.

sábado, 18 de abril de 2009

Compactificación por un punto que es T_1

Consideramos un espacio topológico X que es T_1 y no es finito. Se puede construir una compactificación por un punto que sea también T_1. La forma es parecida a la de Alexandroff.

Sea X^*=X\cup\{\infty\} y la topología \tau^* es, aparte de \tau, aquellos conjuntos O tales que su complementario es un conjunto finito de X.

De nuevo, se puede probar que \tau^* es una topología. Para probar que (X*,i) es una compactificación de X, donde i es la aplicación inclusión, se sigue los mismos pasos que en el caso de Alexandroff. Por ejemplo, X* es compacto, ya que dado un recubrimiento suyo, el abierto que contiene a \infty recubre todo X* excepto un conjunto finito de puntos. Cada uno de éstos, están contenidos en un abierto, y hemos conseguido el recubrimiento finito.

Para probar que X* es T_1, todo punto tiene que ser cerrado. Para los puntos de X, es evidente, ya que su complementario (en X*) es un abierto de los "nuevos". Si el punto es \infty, su complementario es X, que es abierto.

viernes, 17 de abril de 2009

La compactificación de Alexandroff y separación

Consideramos X un espacio topológico y X* su compactificación de Alexandroff por un punto. Tenemos el resultado que nos dice que el espacio X* es T_2 si y sólamente si X es T_2 y localmente compacto.
Pero ¿qué sucede si queremos que sea T_0 o T_1, etc.
Por ejemplo, son ciertos los siguientes resultados:
  • X* es T_0 si y sólamente si X es T_0.
  • X* es T_1 si y sólamente si X es T_1.
  • X* es regular si y sólamente si X es regular.
  • X* es normal si y sólamente si X es normal.

La compactificación de Alexandroff de Q

La compactificación Hausdorff por un punto de un espacio Hausdorff y localmente compacto es equivalente a la compactificación de Alexandroff.

Consideramos el conjunto de los números racionales Q, con su topología usual. Este espacio es Hausdorff, pero no es localmente compacto. Por tanto, su compactificación de Alexandroff por un punto no puede ser Hausdorff.

Efectivamente, sea Q^*=Q\cup\{\omega\} una compactificación de Alexandroff por un punto de Q. Sea x un número irracional y \{q_n\} una sucesión de números racionales que converge a x. Entonces se tiene también que \{q_n\}\rightarrow \omega. Para ello, consideramos un abierto O que contenga a \omega.
Entonces Q^*-O es un compacto de Q. Pero los conjuntos compacto de Q son los conjuntos finitos. Por tanto, O\cap Q=Q-\{p_1,\ldots,p_n\} y evidentemente, a partir de un cierto término de la sucesión, ésta se encuentra en O\cap Q\subset O.

jueves, 16 de abril de 2009

Conexión y compactificación de Alexandroff

Si un espacio (no compacto) es conexo, su compactificación X* por un punto es conexa, ya que $X^*$ es la adherencia de X, y por tanto, conexo.


Sin embargo, X puede ser no conexo, y su compactificación de Alexandroff por un punto puede ser conexo.


Por ejemplo, sea $X=(0,1)\cup (2,3).$ entonces $X^*$ es conexo.


Para ello, sean A y B dos abiertos formando una partición de $X^*$. Supongamos que A contiene a infinito. Entonces B es un abierto de X y $X^*-A=B$ es compacto y cerrado de X. Por tanto, B es abierto, cerrado de X. Entonces los conjuntos $B_1:=B\cap (0,1)$ y $B_2:=B\cap (2,3)$ son no vacío. Por tanto, $B_1$ es abierto y cerrado en $(0,1)$. Por conexión, $B_1=(0,1)$ y de la misma forma, $B_2=(2,3)$. Esto quiere decir que B es X, luego $A=\{\infty \}$ , el cual no es abierto: contradicción.

miércoles, 15 de abril de 2009

Alexandroff

El nombre de Alexandroff es Pavel Sergeevich Aleksandrov (1896-1982), matemático ruso.

Alexandroff es considerado como un impulsor clave de la Topología en el siglo XX, especialmente en Topología General y Topología Algebraica. Fue el creador, junto con Urysohn, de la noción de espacio compacto, espacio localmente compacto, recubrimiento localmente finito. Obtuvo resultados de metrizabilidad, que impresionaron al mismo Hausdorff.

Fue amigo de Urysohn y ambos trabajaron conjuntamente de forma muy intensa. Por cierto, mientras ambos estaban en la Bretaña francesa, Uryshon se ahogó en el mar.
Aprendió topología de Hausdorff y Brouwer. Trabajó con matemáticos importantes, como Hopf y Kolmogorov. Con Hopf, empezó a escribir tres volúmenes sobre Topología, cuyo primer volumen apareció en 1935.

En Rusia, Alexandroff es considerado como uno de los matemáticos rusos más importantes de la Historia. Recibió el Premio Stalin, cinco órdenes de Lenin, fue presidente de la Sociedad Matemática de Moscú durante 32 años y miembro de diferentes academias como la London Mathematical Society, la National Academy of Sciences (NSF) de los Estados Unidos y la American Philosophical Society.

Más información aquí.

sábado, 11 de abril de 2009

Compacidad local y operaciones topológicas

Si un subconjunto es localmente compacto. ¿también lo son su adherencia, su frontera, su interior y su exterior? Y viciversa. Por ejemplo, si la adherencia de un conjunto A es localmente compacto, ¿lo es también A?
Empiezo yo, con algunos ejemplos de (Sí, pero No; y de No, pero Sí):
  • En Q, sea A un conjunto finito. Por tanto, A SI es localmente compacto. Como el exterior de A es Q-A, el exterior NO es localmente compacto.
  • En R, el conjunto de números racionales Q NO es localmente compacto, pero su adherencia, que es todo R, SI lo es. El mismo ejemplo muestra un conjunto que NO es localmente compacto, pero SI su frontera (de nuevo, R).

Compacidad local y axiomas de separación

  • Haussdorff + todo punto tiene un entorno compacto -> localmente compacto.
  • Haussdorf + compacto -> localmente compacto.
  • regular + todo punto tiene un entorno compacto -> localmente compacto.
  • regular + compacto -> localmente compacto.
  • localmente compacto + Haussdorff -> T_3.

Compacidad local a gusto del consumidor

A continuación... ejemplos para todos los gustos.
  1. En la topología de los complementos finitos cualquier conjunto es compacto. Este espacio, es por tanto, COMPACTO y LOCALMENTE COMPACTO.
  2. El espacio euclídeo R^n NO es compacto pero SI es localmente compacto: basta tomar las bolas cerradas centradas en un punto.
  3. El conjunto de los números racionales NO es compacto y NO es localmente compacto: ningún entorno es cerrado.
  4. Consideramos X=Q\cup\{\infty\} con la topología \tau_u \cup \{X\}. Este espacio SI es compacto pues dado un recubrimiento, el abierto que contiene a \infty es X, y por tanto, recubre a todo el espacio. Este espacio NO es localmente compacto, pues la topología inducida en Q es la topología usual, que no es localmente compacto.

jueves, 2 de abril de 2009

La otra caracterización de compacidad

Se caracterizó un espacio compacto como aquél que satisface la siguiente propiedad: para cada familia de cerrados con intersección vacía, existe una subfamilia cuya intersección también es vacía. Ya se propuso en clase usar esta caracterización de compacidad para saber si un espacio es o no compacto. Propongo que se haga con espacios conocidos (o no). Empiezo yo.
  1. La topología discreta: los cerrados son los subconjuntos. Entonces para cada x del conjunto, sea el cerrado F_x=X-\{x\}. Es evidente que la intersección de todos los F_x es vacía. Si el espacio fuera compacto, habría un número finito de F's con intersección vacía, es decir, \cap_{i=1,\ldots,n}F_{x_i}=\emptyset. Al tomar complementarios, X=\{x_1,\ldots,x_n\}, es decir, X debe ser finito.
  2. La topología de los complementos finitos. Los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos. Sea F_i una familia de cerrados con intersección vacía, y sea F=\{x_1,\ldots,x_n\} uno cualquiera de ellos. Entonces x_1 no está en algún F_i: llamamos F^1 a dicho cerrado. Y así lo vamos haciendo para cada x_i. Entonces F\cap F^1\cap\ldots\cap F^n=\emptyset.

Continuad...

miércoles, 1 de abril de 2009

Compacidad y axiomas de separación

Se ha visto hoy en clase que un espacio Haussdorff y compacto es normal y regular. Propongo buscar ejemplos de:
  1. espacios compactos y T_1 que no sean normales.
  2. espacios compactos y T_1 que no sean regulares.
  3. espacios normales y Haussdorff que no sean compactos.