martes, 25 de octubre de 2011

Interior, adherencia y grafos de funciones

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una aplicación y $A=\{(x,f(x));x\in\mathbb{R}\}$ la gráfica de $f$.

Se sabe que $int(A)=\emptyset$. Para esto no hace falta que $f$ sea continua. Sin embargo, $\overline{A}=A$ si $f$ es continua, y no es cierta la igualdad en general si la aplicación no es continua. El ejemplo es considerar la función $f$ dada por $\sin(1/x)$ si $x\not=0$ y $f(0)=0$. Entonces $A\not\subset \overline{A}$.

Consideramos ahora $A=\{(x,y);y>f(x), x\in\mathbb{R}\}$. Es conocido que si $f$ es continua, entonces $int(A)=A$. El ejercicio que propongo es buscar una función $f$ de forma que el conjunto $int(A)$ no sea $A$.

lunes, 24 de octubre de 2011

Continuando con el juego

Seguimos con este juego de interior y frontera. Sabemos que dado un espacio espacio topológico $(X,\tau)$ y $A\subset X$ entonces $X$ es unión disjunta de $int(A)$, $Fr(A)$ y $ext(A)$. La cuestión que propongo en esta entrada es qué sucede si uno hace interior de $A$, luego la frontera de lo que ha dado, luego su exterior, luego el interior de este conjunto, y así sucesivamente. Por ejemplo, ¿llega un momento en que el conjunto resultante es siempre el mismo?

He empezado por interior, pero podíamos comenzar con la frontera, etc.

Por ejemplo, en la topología usual de R, $A=(0,1)$, su interior es $A$; la frontera de éste es $\{0,1\}$, el exterior de éste es $R-\{0,1\}$, el interior de este conjunto es de nuevo $R-\{0,1\}$; la frontera de éste es ahora $\{0,1\}$, su exterior, $R-\{0,1\}$. Por tanto, en este caso concreto, tenemos un sucesión oscilante.

Siguiendo con el mismo espacio topológico, si $A=\{0\}$, entonces su interior es el vacío; la frontera del vacío es vacío; el exterior es $R$; el interior de éste es $R$; la frontera, el vacío. De nuevo tenemos una sucesión oscilante.

¿Sucede lo mismo con cualquier conjunto y en cualquier espacio topológico?

domingo, 23 de octubre de 2011

Continuando con la frontera

De nuevo esta entrada tiene que ver con la frontera de un conjunto y con una propiedad que tiene el interior y la adherencia de un conjunto. Se sabe que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset B\subset X$ entonces $int(A)\subset int(B)$. La pregunta que propongo es si es cierto la propiedad análoga para la frontera, es decir, si $Fr(A)\subset Fr(B)$.

Y si no es cierta esta inclusión, buscar alguna relación entre las dos fronteras, si la hubiera, claro.

Pongo un pequeño ejemplito en la topología usual de R. Si $A=(0,1)$ y $B=[0,1]$. Entonces $Fr(A)=Fr(B)$, luego aquí se da la inclusión. Y lo mismo, si cambiamos $A$ por $A=\{0,1\}$.

sábado, 22 de octubre de 2011

Frontera de frontera

Es conocido que en un espacio topológico $(X,\tau)$, si $A\subset X$ entonces $int(int(A))=int(A)$ y que $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$. Dicho con otras palabras, si $f:{\cal P}(X)\rightarrow {\cal P}(X)$ es la aplicación $f(A)=int(A)$, entonces $f\circ f=f$, es decir, $f$ es idempotente. Y lo mismo para la adherencia.

La pregunta que me hago es si pasa lo mismo para la 'frontera'. Por ejemplo, ¿$Fr(Fr(A))=Fr(A)$?

Si la respuesta es que no, ¿hasta dónde podríamos llegar?, quiero decir, cuántas veces podemos hacer 'frontera de' hasta que nos quede siempre el mismo conjunto (si fuera posible).

Relacionado con lo anterior, pregunto si es posible que exista un espacio topológico y un conjunto $A\subset X$ de forma que cada vez que haga la frontera salga conjuntos diferentes. Concretamente, la pregunta es si existe un conjunto $A\subset X$ tal que si llamo $A_1=A$ y $A_{n+1}=Fr(A_n)$, los conjuntos $A_n$ son todos distintos.

También, si existen conjuntos $A$ tales que la sucesión $\{A_n\}$ haga cosas 'raras', por ejemplo, que sea oscilante, es decir, que a partir de un cierto lugar, $A_{n}=A_{n+2}$.

viernes, 21 de octubre de 2011

Pocos comentarios en el blog

Esta entrada es para hacer un comentario sobre los comentarios que se realizan en el blog. Al paso del tiempo, y excepto en pequeñas temporadas donde comentar en el blog significaba nota de clase, observo que apenas hay comentarios y participación en el blog.

También sé que el número de visitas al blog es relativamente alto para el tipo de blog que es (¡sobre topología en los estudios de Matemáticas!). Por ejemplo, las visitas semanales en este último mes rondan las 600. Además, se deduce de las estadísticas que aporta Google Analytics, que la mayor parte de esas visitas no son de estudiantes de 'Granada' sino de muchos y variados lugares, por ejemplo, de Hispanoamérica.

Sin embargo esto no repercute en esa participación y pienso que, por parte de los estudiantes, el blog se transforma en un 'amontonar apuntes', lo cual no está mal, pero pienso que un blog es algo más que 'leer y acumular'.

jueves, 20 de octubre de 2011

Una sucesión con infinitos límites

Ya sabemos que en un espacio métrico, el límite de una sucesión convergente es único. Si el espacio topológico no es métrico, puede haber más límites. Éste es el caso del ejemplo que salió ayer en clase y que pongo en el el blog.

En el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ se considera la topología que tiene por abiertos los conjuntos de la forma $A_n=\{n,n+1,\ldots\}$. Este espacio no es Hausdorff y por tanto, no es metrizable.

Tomamos la sucesión $\{x_n\}=\{n\}$ y veamos que converge a cualquier número natural $m\in \mathbb{N}$. Para ello, consideramos una base de entornos de $m$ en esta topología, que no es más que $\beta_m=\{A_m\}$. Hay que probar que existe $\nu\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq \nu$, entonces $x_n\in A_m$. Basta tomar $\nu=m$.

De este ejemplo, podemos tomar más, por ejemplo, la sucesión de números pares $\{2n\}$ converge a cualquier número natural.

Esto no quiere decir que toda sucesión convergente tiene más de un límite. Por ejemplo, la sucesión constante $\{1,1,\ldots\}$ sólo converge a $1$. Para acabar, podéis probar que toda sucesión en $\mathbb{N}$ es convergente y que $1$ es un límite de toda sucesión.

martes, 18 de octubre de 2011

Sobre intervalos de R

Cada curso que empiezo de Topología siempre surge una dificultad al trabajar con los intervalos de $R$. La cuestión que propongo es la siguiente. Consideramos en la recta real $R$ diferentes topologías y el ejercicio que se plantea es tomar un subconjunto de $R$ y estudiar si es un conjunto abierto y si es cerrado. La confusión aparece inmediatamente cuando dicho conjunto es un intervalo.

La razón es que, antes de la asignatura de Topología, el alumno sabe que hay intervalos abiertos, intervalos cerrados, semiabiertos, semicerrados, etc. Y la dificultad se encuentra en qué relación hay entre la palabra 'abierto' en 'intervalo abierto' y el hecho de ser un 'conjunto abierto'.

La respuesta es bien sencilla: dependiendo de la topología, un intervalo (¡del tipo que sea!) será o no conjunto abierto. Y lo mismo, con cerrado.

Y también hay un 'error' común y es en fijarse sólo en los extremos del intervalo, como si los demás puntos del intervalo no sirvieran para nada.

Para simplificar, en esta entrada voy a tratar el problema de estudiar si el conjunto es abierto, y lo voy a hacer con un ejemplo. Tomamos en $R$ la topología de Sorgenfrey T1, la T2 que tiene por base los intervalos de la forma $(a,\infty)$ y la topología del punto incluido tomando como punto distinguido $p=0$.

Consideramos el intervalo abierto $A=(0,1)$ y nos preguntamos si es abierto en cada una de las topologías. 
  1. Para T1, $A$ es abierto pues $A=\cup_{n\in N}[\frac{1}{n},1)$. 
  2. Para T2, $A$ no es abierto, pues si tomo $x=1/2$, si $A$ fuera abierto, existiría un elemento de la base $(a,\infty)$ tal que $x\in (a,\infty)\subset A$, lo cual es imposible. 
  3. Para T3, $A$ no es abierto pues no contiene a $p$.
Si nos fijamos, no he 'tocado' el asunto sobre los 'extremos' del intervalo.

Tomo ahora $A=[-2,1)$ (que no es un intervalo ni abierto ni cerrado), y hago lo mismo. 
  1. Para T1, $A$ es abierto, pues es un elemento de la base. 
  2. Para T2, $A$ no es abierto, y es el mismo razonamiento que se hizo para $(0,1)$. 
  3. Para T3, $A$ es abierto pues contiene a $p$.

De nuevo, en ningún momento hablo de los extremos.

Como conclusión, si queremos estudiar la topología de un intervalo de $R$, cuando en $R$ hay una topología dada, nos tenemos que 'olvidar' si el intervalo es abierto o cerrado, y centrarnos en lo que nos pregunta. Por supuesto, usaremos que el conjunto es un 'intervalo'.

Sobre esto último, pongo un último ejemplo. Tomo el intervalo cerrado $A=[1,\infty)$. Este conjunto no es abierto ni en T2 ni en T3. Si nos dicen que no es abierto (lo cual es un un gran paso), es porque existirá un punto del conjunto $A$ tal que $A$ no es entorno suyo. Averiguar ese punto, en general, no es fácil, pero aquí sí lo es. ¡Cuidado!: no nos tenemos que fijar en los extremos del intervalo. 
  1. Para T2 el único punto donde falla la propiedad es en $x=1$ (da la casualidad): no hay un intervalo de la forma $(a,\infty)$ tal que $1\in (a,\infty)\subset A$. Sin embargo, $A$ sí es entorno de todos los demás puntos de $A$. 
  2. Para T3, el punto $p$ no está en $A$, luego $A$ no es abierto. En este caso, $A$ no es entorno de ningún punto suyo.
Espero que haya quedado clara la idea de este post.

lunes, 17 de octubre de 2011

Diferentes distancias, misma topología

Cada distancia en un conjunto da una topología. Es conocido que diferentes distancias pueden dar la misma topología, es decir, las distancias son equivalentes. El ejemplo que se pone habitualmente es el de $R^n$ con las tres distancias habituales que se definen en dicho conjunto.

Quiero mostrar aquí otro ejemplo. Sea $X$ un conjunto y se definen dos distancias $d$ y $d'$ del siguiente modo: si $x=y$, $d(x,x)=d'(x,x)=0$ y si $x\not=y$, entonces
$$d(x,y)=1,\ d'(x,y)=2.$$
Observar que las bolas no son iguales. Así, $B_2(x)=X$ y $B_2'(x)=\{x\}$.

Entonces la topología que induce $d$ es la misma que $d'$, y es justamente la topología discreta. Para ello basta tomas bases de entornos de $x\in X$:
$$\beta_x=\{B_r(x);0 < r < 1\}=\{\{x\}\}.$$ $$\beta_x'=\{B_r(x);0 < r < 2\}=\{\{x\}\}.$$ Pero el espacio topológico que tiene por base de entornos el propio punto es el espacio discreto.

jueves, 13 de octubre de 2011

Intersección de topologías

Es bien conocido el siguiente resultado. Sea $X$ un conjunto y $\tau_1$ y $\tau_2$ dos topologías en $X$. Entonces la intersección de las dos topologías $\tau_1\cap\tau_2$ es otra topología.

Os dejo que calculéis la intersección de dos topologías concretas. Exactamente. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$. Si $\tau_1$ es la topología del punto incluido para $p$ y $\tau_2$ la del punto excluido para $p$ ¿cuál es $\tau_1\cap \tau_2$?

Diferente es la siguiente cuestión que os dejo para que penséis. Consideramos como antes $X$ con dos topologías. Sea
$$\tau=\{O_1\cap O_2;O_1\in\tau_1, O_2\in\tau_2\}.$$
¿Es $\tau$ una topología? Si la respuesta es 'sí', decir por qué; y si es 'no', poner un ejemplo.

miércoles, 12 de octubre de 2011

Topología inducida en R

(Una vez empezado el curso, vamos a continuar con este blog, aunque este año va a ser algo diferente ya que la asignatura acaba en febrero.)

La topología inducida es un concepto fácil de definir pero a veces, cuesta un poco de trabajo en algunas situaciones. El caso que creo que es más ilustrativo es considerar en R la topología usual. Pongo algunos ejemplos.

Un punto $\{x\}$ es un conjunto cerrado pero no es abierto. Consideramos el conjunto de números enteros Z y la topología inducida. El conjunto $\{1\}$ es ahora un conjunto cerrado y abierto en Z.

El intervalo $[0,1)$ no es un conjunto abierto en R. El intervalo $[1,2)$ no es cerrado. Tomamos ahora el intervalo $X=[0,2)$ con la topología inducida. Entonces $[0,1)$ es un conjunto abierto en X y $[1,2)$ es un conjunto cerrado.

Os dejo aquí otro ejemplo, para que penséis. Tomamos X la sucesión $\{1/n;n\in N\}\cup\{0\}$. Estudiar si $\{0\}$ si es un conjunto abierto y si es cerrado en X.