viernes, 19 de diciembre de 2014

Continuidad de una aplicación que llega a un espacio cociente

Al estudiar la continuidad de aplicaciones relacionándolo con la topología cociente, el resultado que se tiene se refiere a aplicaciones que tienen como dominio un espacio cociente: basta con componer con la proyección para ver si es continua. Entonces el problema se transforma en uno sobre continuidad entre espacios 'no cocientes'. ¿Qué pasa si en el codominio tenemos una topología cociente?
Un ejemplo de la situación es la siguiente. En ${\mathbb R}$ con la topología usual $\tau$ consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que identifica todos los puntos del intervalo $A=[3,5]$, es decir, $$[x]=\left\{\begin{array}{ll}\{x\} & \mbox{si $x\not\in A$} \\ A & \mbox{si $x\in A$}\end{array}\right.$$  Definimos $$f: {\mathbb R}\rightarrow \frac{{\mathbb R}}{\sim}, \ \ f(x)=[x^2].$$ Para estudiar la continuidad, veamos cuál es la imagen inversa de abiertos. Sea $G\in\tau/\sim$. Entonces $$f^{-1}(G)=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in G\}.$$
Pero ¿cómo son los abiertos en $\tau/\sim$? El abierto $G$ es la imagen mediante la proyección $p:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}/\sim$ de un abierto $O\in\tau$ que es saturado, es decir, $O=p(G)$. Un abierto de este tipo satisface que si $x\in{\mathbb R}$ tiene la propiedad de que $x\sim y$, donde $y\in O$, entonces $x\in O$.  Por tanto, si el abierto $O\in\tau$ no interseca a $A$, entonces es saturado; es caso contrario, $O$ contiene a $A$. Así el abierto $(0,2)$  es saturado, pero no el intervalo $(1,4)$.
Volvamos al ejercicio. Se tiene $$f^{-1}(G)=f^{-1}(p(O))=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in p(O)\}=
\{x: \exists z\in O, x^2\sim z^2\}.$$ Tomamos el abierto $G=p(O)$, donde $O=(1,2)$: como $O\cap A=\emptyset$, entonces $O$ es saturado, y $G\in\tau/\sim$. Al hacer los cuadrados, obtenemos el intervalo $(1,4)$, y el conjunto de números relacionados por $\sim$ es $(1,5]$. Entonces, se puede observar que $$f^{-1}(G)=[-\sqrt{5},-1)\cup (1,\sqrt{5}],$$que no es abierto, probando que $f$ no es continua.

miércoles, 17 de diciembre de 2014

Más de lo mismo, cambiando un poquito

Modifico el ejemplo anterior cambiando la forma de la aplicación. Si ahora $f$ viene dada por $f(x,y)=-x+y$, con $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow (\mathbb R},\tau_S),$$
entonces la aplicación no es continua. La razón es que hay abiertos cuya imagen inversa no es abierto, en verdad, ninguna imagen inversa es abierto.
Las diferencias son las siguientes. La imagen inversa son de nuevo la banda entre dos rectas paralelas, incluida la recta de abajo y no la de arriba, y éstas tienen pendiente $1$, es decir, paralelas a la recta $y=x$. Al hacer $f^{-1}([m,n])$, y calcular los puntos interiores (para ver si coincide con el conjunto, el mismo razonamiento que se hizo en la entrada anterior prueba que todos los puntos de $f^{-1}((m,n))$ son interiores, es decir, la banda estrictamente entre las dos rectas (el argumento es pasando por la topología usual). Sin embargo los puntos de la recta $y=x+n$ (la recta de abajo) no son interiores. Para ello, tomamos como base de entornos de dicho punto los rectángulos que tienen como vértices de abajo izquierda el punto, es decir $$\beta_{(x,y)}=\{[x,x+r)\times [y,y+s): r,s > 0\}.$$ Entonces cualquier rectángulo de este tipo no está contenido en el conjunto: por ejemplo el punto $(x+r/2,y)$, que está en el rectángulo,  no pertenece a $f^{-1}([m,n])$ pues $$-(x+\frac{r}{2})+y=-x+\frac{r}{2}+x+m=\frac{r}{2}+n > n.$$ La conclusión es que pequeñas diferencias de la aplicación, hacen que ésta deje de ser continua.

lunes, 15 de diciembre de 2014

Seguimos con la continuidad en la topología producto

Vuelvo a la aplicación $f(x,y)=x+y$, vista como  $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S).$$Ahora hemos puesto en el dominio la topología producto de la de Sorgenfrey por ella misma, y en el codominio, $\tau_S$. De nuevo, y ésta es una de las claves para realizar este ejercicio, es que podemos hallar la imagen inversa de intervalos: $$f^{-1}([m,n))=\{(x,y):m \leq x+y < n\}$$ que es la 'banda inclinada' entre las rectas $y=-x+m$ e $y=-x+n$, conteniendo a la recta $y=-x+m$, pero no a la recta $y=-x+n$. Volviendo a recordar: si probamos que la imagen inversa de de estos elementos son abiertos, es suficiente para demostrar la continuidad de la aplicación.
Hay que probar que esta banda es un conjunto abierto en $\tau_S\times\tau_S$ (¡no hay que probar que pertenece a la base $\tau_S\times\tau_S$!). Esta base está formada por rectángulos de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Entonces es fácil darse cuenta que dado un punto  $(x,y)\in f^{-1}([m,n))$, entre él y la banda se puede encontrar un rectángulo de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Esto con un dibujo es fácil. Para los puntos entre la dos rectas, sin contener a éstas, aparte de un pequeño dibujito, también de puede hacer del siguiente modo: la banda sin las rectas es un conjunto abierto en la topología usual (ejercicio); la topología usual de ${\mathbb R}^2$ es la topología producto $\tau_u\times\tau_u$; la topología $\tau_u$ de ${\mathbb R}$ es menos fina que $\tau_S$, es decir, $\tau_u\subset\tau_S$; por tanto $\tau_u\times\tau_u\subset\tau_S\times\tau_S$, que era lo que se quería probar.
Quedaría probar que los puntos de la banda $y=-x+m$ son interiores a la banda en la topología $\tau_S\times\tau_S$. De nuevo, repito, un dibujo lo prueba fácilmente. Que uno quiere encontrar con 'fórmulas' dicho abierto, basta tomar un rectángulo cuyo vértice de la izquierda abajo sea el punto $(x,y)$: podría valer $$(x,y)\in [x,x+\frac{n-m}{2})\times [y,y+\frac{n-m}{2})\subset f^{-1}([m,n)).$$

sábado, 6 de diciembre de 2014

Continuidad en espacios productos (III)

Seguimos con la misma aplicación considerando $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_u\times\tau_u)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_i).$$
Para estudiar la continuidad, no vamos a tomar todos los abiertos de $\tau_i$, sino sólo una base. Tomamos la base $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. La razón es que cada uno de estos abiertos tiene sólo dos elementos. La aplicación será continua si la imagen inversa de los elementos de $\beta_i$ es un abierto en la topología $\tau_u\times\tau_u$. Recordemos que $\tau_u\times\tau_u$ es la topología usual de ${\mathbb R}^2$, como espacio euclídeo.

Tenemos ahora $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}=\{y=-x+1\}\cup\{y=-x\}.$$ Es decir la imagen inversa son dos rectas paralelas. Sin embargo, dicho conjunto nunca es abierto (por ejemplo, debería incluir a bolas euclídeas, lo cual no es cierto). Esto prueba que $f$ no es continua. Es más, esto prueba que en ningún punto la aplicación $f$ es continua.