Intersección de conjuntos compactos

Ayer hicimos en clase el ejercicio que afirma que en un espacio Hausdorff, la intersección de dos subconjuntos compactos es también compacto. Si el espacio no es Hausdorff, el resultado no es cierto. Quiero dejar en esta entrada el ejemplo que pensamos.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología a derechas $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{[a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. El espacio $(\mathbb{R},\tau)$ no es Hausdorff. Consideramos $A=\{-1\}\cup (0,1)$ y $B=\{-2\}\cup (0,1)$. El conjunto A es compacto, pues si $\{[a_i,\infty);i\in I\}$ es un recubrimiento de $A$, alguno de estos abiertos debe contener al punto $x=-1$. Si $[a_{i_0},\infty)$ es dicho abierto, entonces $A\subset [a_{i_0},\infty)$. Del mismo modo, $B$ es compacto.

La intersección $A\cap B$ es $(0,1)$, pero este conjunto no es compacto ya que $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un recubrimiento por abiertos y no hay un subrecubrimiento finito: la unión de un subrecubrimiento finito de $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un conjunto de la forma $[1/m,\infty)$, que no contiene a $(0,1)$.

La clasificación de las letras

Francisco Reyes me ha enviado la clasificación topológica de las letras del abecedario, en mayúscula, indicando cuáles son homeomorfas entre sí y cuáles no. Os dejo para que la repaséis.

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-La A no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
2 salvo dos, que tienen orden uno, y no existe otra letra con dichas
características.
-La B no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
1, al igual que la D y la O, pero no es homeomorfa a estas letras porque
haría falta 'pegar' y 'despegar' puntos para llevar una letra a la otra.
-La C es homeomorfa a la G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z. 'Deformando' o
cambiando de posición dichas letras, podemos formar unas letras a partir
de otras.
-La D es homeomorfa a la O. Todos los puntos de ambas son de orden 1, y
deformando ligeramente el lado vertical de la D hacia la izquierda, se
'obtiene' la O.
-La E es homeomorfa a la F. Ambas tienen un punto de orden 3 y el resto de
orden 2. Es fácil obtener la E a partir de la F.
-La H no es homeomorfa a ninguna otra letra, puesto que no existe otra
distina que tenga dos puntos de orden 3 y el resto de orden 2.
-La K es homeomorfa a la X. Ambas tienen un punto de orden 4 y el resto de
orden 2, y 'torciendo' los lados verticales de la K hacia la izquierda se
forma la X.
-La Ñ no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con todos
sus puntos de orden 3.
-La P no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La Q no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La R no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La T no es homeomorfa a ninguna otra letra. Tiene un punto de orden 3 y
el resto de orden 2, pero no es homeomorfa a la E y a la F porque habría
que 'pegar' y 'despegar' puntos.
-La Y no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con un punto
de orden 3 y el resto de orden 1.

Cabe destacar que la Q ha sido considerada con el 'rabito' sin
introducirse en el agujero de dentro, y la Z sin 'rabito' central.

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Por mi parte, creo que la Y es homeomorfa a la T

Orden de intersección

En un espacio topológico $X$, un punto $p\in X$ se dice que tiene orden de intersección $n\in\mathbb{N}$ si $X-\{p\}$ tiene exactamente $n$ componentes conexas. Evidentemente, el orden de intersección es un invariante topológico. Ha sido justamente éste el que se ha usado para distinguir las letras. Pongo más ejemplos de ello.

La letra H no es homeomorfa a Y. Y esto es por que la letra H tiene dos puntos de orden 3. Si la letra Y fuera homeomorfa a H, tendría dos puntos de orden 3. Sin embargo sólo tiene uno.

En la letra H todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto dos, que tiene orden de intersección 3. En la letra Y todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto un punto que tiene orden 3.

Por último, la letra Y no es homeomorfa a la letra R. Ésta tiene sólo un punto de orden 3, pero tiene otros puntos de orden 1, es decir, al quitar el punto, el conjunto que queda es conexo.

¡ FELIZ NAVIDAD !... y conexión

Siguiendo con la entrada anterior sobre 'letras', tomo la expresión ¡ FELIZ NAVIDAD ! y clasifico topológicamente cada uno de sus elementos. Primero, los signos de admiración ¡ y ! son homeomorfos entre sí, y no son homeomorfos a ninguna letra ya que las letras son conexas, pero los signos de admiración no: cada uno tiene dos componentes conexas.

Para el resto, la clasificación es:

• Las letras L, I, Z, N y V son homeomorfas entre sí. Además, son homeomorfas a un intervalo abierto $(a,b)$.
• Las letras F y E son homeomorfas entre sí.
• La letra D no es homeomorfa a ninguna y es homeomorfa a $\mathbb{S}^1$.
• Lo mismo pasa con la letra A.
• La letra F tiene un punto que al quitarlo queda tres componentes conexas, cosa que no pasa ni para L, D y A.
• La letra A tiene exactamente dos puntos que al quitarlos queda dos componentes conexas: esto no pasa a L (hay infinitos) ni a D, que no tiene ninguno.
• La letra D no es homeomorfa a L, pues al quitarle un punto, queda conexo, y esto no sucede con la letra L.

Sobre letras

Todos los años, al llegar al tema de conexión y explicar las componentes conexas, siempre hago referencia a un ejercicio que vi hace tiempo en un libro de topología en el que se distinguía topológicamente las letras del alfabeto. Concretamente, vamos a suponer las letras del alfabeto escritas en mayúsculas, es decir, A B C D E, etc. El problema es, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, distinguirlas topológicamente. Y usaremos conexión y componentes conexas.

En principio, y para simplificar las dificultades que se pueden prestar, supondré que cuanto una letra acaba en un trozo de segmento, el 'último' punto no está en la letra, es decir, considero ese extremo abierto. Por ejemplo, los dos extremos inferiores de la letra A no están incluidos en la letra.

Empiezo con la letra A y B. Ambas son conexas, pero no son homeomorfas. Supongo que hay un homeomorfismo f entre A y B. En la letra A, considero uno de los dos puntos de intersección entre el segmento vertical de la izquierda y el segmento horizontal. Llamo a ese punto $p$. Mediante el homeomorfismo f, dicho punto irá a alguno $f(p)$ de la letra B. Quito $p$ de $A$ y por tanto, $A-\{p\}$ es homeomorfo a $B-\{f(p)\}$. Sin embargo $A-\{p\}$ tiene dos componentes conexas, y si quito cualquier punto de la letra B, siempre queda conexo. Por tanto, llegamos a una contradicción, probando que A no es homeomorfo a B.

Del mismo modo, la letra E no es homeomorfa a la letra A. Para ello, tomamos el punto q y por tanto $E-\{q\}$ es homeomorfo a $A-\{f(q)\}$. En la letra A no hay puntos que al quitarlos quede tres componentes conexas. Esta contradicción prueba que A no es homeomorfa a E.

Y así podemos seguir con todas las letras del alfabeto.

Por ejemplo, las letras C, I, J y L son homeomorfas entre sí: son todas homeomorfas al intervalo $(0,1)$.

Sobre conos

La conexión, como invariante topológico, nos sirve para distinguir espacios topológicos ¡aunque ambos sean conexos!

Un ejemplo es considerar el cono. Tomamos $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2\}$, que aparece en la siguiente figura.

Y tomamos el conjunto $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$, que es el auténtico cono de los helados.

Entonces, usando un argumento de conexión, $X$ no es homeomorfo a $Y$. Llamamos $p=(0,0,0)$, que pertenece a ambos conjuntos. Concretamente, si $f:X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo entre ellos, sea $f(p)=q$. Si restringimos $f$ al conjunto $X-\{p\}$ y su imagen, a saber, $Y-\{q\}$, queda un homemorfismo. Por tanto $X-\{p\}\cong Y-\{q\}$.

Sin embargo, $X-\{p\}$ no es conexo, concretamente, tiene dos componentes conexas:
$$X^+:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z>0\},$$
$$X^{-}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z<0\}.$$ Pero $Y-\{q\}$ es conexo. El conjunto $Y$ es homeomorfo $\mathbb{R}^2$ (usando la proyección $(x,y,z)\longmapsto (x,y)$). Por tanto, $Y-\{q\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ menos un punto, que es conexo (además es homeomorfo a un cilindro $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$).

Partición por conexos y componentes conexas

Si dado un espacio topológico $X$ tenemos una partición $\{A_i;i\in I\}$ del mismo por conjuntos conexos, estos no tienen porqué ser las componentes conexas. El ejemplo más sencillo de esto es que en cualquier espacio topológico (sea o no conexo), la partición $\{\{x\};x\in X\}$ es una partición por conexos.

Tenemos un resultado de clase que nos dice que, si además los conjuntos $A_i$ son abiertos, entonces sí coinciden con las componentes conexas.

Con esta entrada lo que pregunto es por ejemplos de espacios topológicos de forma que la partición de las componentes conexas no esté formada por conjuntos abiertos. Y también, si es posible encontrar estos ejemplos como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual.

Un ejemplo que se me ocurre es el siguiente. En la topología de Sorgenfrey, los puntos son las componentes conexas. Sin embargo, el conjunto formado por un punto no es abierto.

Componentes conexas y topologías inducidas

Con las componentes conexas podemos plantear varias preguntas relacionadas con las formas de construir espacios topológicos. Por ejemplo, se sabe que en un producto topológico $X\times Y$, la componente conexa de $(x,y)$ es
$C_x\times C_y'$.

¿Y con las topologías inducidas? Supongamos que $X$ es un espacio topológico, $A\subset X$ y $a\in A$. La pregunta es qué relación hay entre la componente conexa $C_a$ de $a$ en $X$ y la componente conexa de $a$ en $(A,\tau_{|A})$, $C_a^A$. Como $C_a^A$ es un conjunto conexo en $X$ que contiene a $a$, entonces $C_a^A\subset C_a$. Es natural preguntarse si $C_a^A=C_a\cap A$.

En $\mathbb{R}$ vemos ejemplos que esto no es cierto. Por ejemplo, si $A=(0,2)\cup (3,4)$ y tomamos $a=1$. Entonces
$C_a^A=(0,2)$ y $C_a=\mathbb{R}$. Por tanto, $C_a\cap A=A=(0,2)\cup (3,4)$.

Si $A$ es conexo, $C_a^A=A$ y $C_a\supset A$. Dejo aquí si es posible hacer un 'teorema' diciendo cuándo se tiene la igualdad $C_a^A=C_a\cap A$.