jueves, 30 de octubre de 2014

Continuamos con sucesiones


Hacemos otro ejercicio parecido al de la anterior entrada, comparando la dificultad y las diferencias entre usar la definición para hallar el interior, y la caracterización por sucesiones. En general, la prueba por sucesiones es más 'fácil' que usar la propia definición.

Sea $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x\geq 0\}$. Este conjunto es uno de los  semiplanos que divide la recta $y=x$ al plano eculídeo ${\mathbb R}^2$, incluyendo el borde. Veamos que $int(A)= \{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x >  0\}$. Primero probamos que dichos puntos son interiores, y luego que no hay más puntos de $A$ que lo sean.

Sea $(x,y)$ tal que $y>x$. Sea ahora $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Hay que probar que la sucesión a partir de cierto término, se encuentra en $A$. Y ahora viene porqué es más 'fácil' usar sucesiones: porque se utilizar propiedades de convergencia de sucesiones de números reales. Así, si $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$, entonces $\{x_n\}\rightarrow x$ y $\{y_n\}\rightarrow y$. Y por tanto, $\{y_n-x_n\}\rightarrow y-x$. Como $y-x > 0$, tenemos una sucesión de números reales, a saber, $\{y_n-x_n\}$ que converge a un número positivo. Se sabe entonces que a partir de cierto lugar de la sucesión, los términos son todos positivos, es decir, a partir de cierto lugar, $y_n-x_n > 0$, y por tanto, $(x_n,y_n)\in A$.

Ahora queda probar que $(x,y)$ con $y=x$ no es un punto interior de $A$. Para ello hay que encontrar una sucesión con ningún elemento en $A$ que converja a $(x,y)$. Pero para ello basta tomar $\{(x,x-1/n)\}$ que converge a $(x,x)=(x,y)$, pero $(x-1/n)-x < 0$, luego no está en $A$.

miércoles, 29 de octubre de 2014

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo (II)


Volvemos a la entrada anterior y hallamos  el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ en $({\mathbb R}^2,\tau_u)$ usando sucesiones.

Probamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío. Por contradicción, supongamos que $(x,0)\in int(A)$. Por la caracterización mediante sucesiones, toda sucesión que converja a $(x,0)$, a partir de un cierto lugar de la sucesión, los elementos deben pertenecer a $A$. Tomamos la sucesión $\{(x,1/n)\}$. Es evidente que $\{(x,1/n)\}\rightarrow (x,0)$, pero ningún elemento de la sucesión está en $A$ ya que las ordenadas, a saber, $1/n$, nunca son cero.

Para la adherencia de $A$, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$, pero $y\not=0$. Vamos a llegar a una contradicción. Por sucesiones, debe existir una sucesión en $A$ que converja a $(x,y)$. Sea, pues, $\{(x_n,0)\}\rightarrow (x,y)$: observemos que las ordenadas de los elementos de la sucesión deben ser cero, pues el punto debe estar en $A$. Sabemos que una sucesión en ${\mathbb R}^n$ converge a un punto si y sólo si convergen las sucesiones de las coordenadas. Por tanto, $\{x_n\}\rightarrow x$ e $\{0\}\rightarrow y$. Pero de esta última convergencia se deduce que $y=0$: contradicción.

Os dejo que comparéis las dos demostraciones que se han hecho para este ejercicio, es decir, la de esta entrada y la anterior, y veáis cuál es más 'sencilla'.

martes, 28 de octubre de 2014

Hallando interior y adherencia en el plano euclídeo


Vamos a calcular el interior y la adherencia del conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y=0\}$ dentro del espacio topológico $({\mathbb R}^2,\tau_u)$, es decir, del plano euclídeo. Este conjunto no es más que el eje de abcisas del plano. Además vamos a hacerlo usando bases de entornos. Recordemos que en la definición de punto interior o punto adherente se usa el concepto de entorno. Aquí vamos a usar como bases de entornos las bolas centradas en el punto, es decir, si $(x,y)\in {\mathbb R}^2$, entonces $$\beta_{(x,y)}=\{B_r(x,y):r > 0\}$$ es base de entornos. El ejercicio se puede hacer bastante más rápido usando propiedades de la topología producto. También, y desde el punto de vista de espacios métricos, podemos usar las correspondientes caracterizaciones mediante sucesiones: esto lo haremos en la próxima entrada. Aquí nos limitamos a usar sólamente la definición.

Veamos que el interior de $A$ es el conjunto vacío, o dicho de otro modo, $A$ no tiene puntos interiores. Supongamos que $(x,y)\in int(A)$. En particular, $(x,y)$ debe pertenecer al conjunto $A$ y por tanto, $y=0$. Supongamos que $(X,0)$ es interior. Por tanto, existe $r>0$ tal que $B_r(x,0)\subset A$. Pero es claro que el punto $(x,r/2)$ está en la bola, ya que su distancia a $(x,0)$ es $|(x,r/2)-(x,0)|=|(0,r/2)|=r/2 < r$ y que dicho punto no pertenece a $A$ pues $r/2\not=0$.

Probamos ahora que la adherencia de $A$ es el propio conjunto $A$. Ya que siempre $A\subset\overline{A}$, lo que estamos diciendo es que no hay puntos adherentes aparte de los de $A$. Por contradicción, supongamos que $(x,y)\in\overline{A}$ y que $y\not=0$. Entonces toda bola centrada en el punto interseca a $A$. Sin embargo hay bolas que no lo cumple, por ejemplo, las de radio $r=|y|$. Observemos que $r>0$ ya que $y\not=0$. Supongamos que $y > 0$ (el razonamiento es análogo si $y < 0$. Si $(a,b)\in B_r(x,y)\cap A$, entonces $b=0$ y $d((a,0),(x,y)) < r$. Pero entonces $$r > d((x,y),(a,0)=
\sqrt{(x-a)^2+y^2}\geq y=r,$$llegando a una contradicción.

jueves, 23 de octubre de 2014

Probando que varias topologías son las mismas


Sabemos que hay varias formas de definir un espacio topológico, por ejemplo, aparte de la topología, mediante bases de abiertos o bases de entornos. Vamos a poner una muestra con la topología del punto incluido.

Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ un punto fijo. Si $x\in X$, denotamos $O_x=\{p,x\}$. Consideramos las siguientes tres topologías:

  1.  $\tau_1=\{O\subset X: p\in O\}\cup\{\emptyset\}$
  2.  $\tau_2$ es la topología que tiene por base $\beta_2=\{O_x:x\in X\}$.
  3.  $\tau_3$ es la topología que tiene por base de entornos para cada punto $x$, $\beta_x^3=\{O_x\}$.

Veamos que las tres topologías son iguales. Hay varias maneras de hacerlo porque a partir de la topología, o bases, o bases de entornos, se puede calcular el resto de elementos topológicos.  Por ejemplo, podemos hallar bases de entornos en cada una de las topologías, y usar la equivalencia de topologías mediante el criterio de Hausdorff. Lo que vamos a hacer en este caso es más aún: vamos a hallar una misma base de entornos en las tres topologías, y por tanto, las tres coinciden.

 Para cualquier  topología $\tau$, sabemos que una base de entornos de $x$ es la familia de todos los abiertos que contienen a $x$. Tomamos $\tau_1$. Entonces $\beta_x^1=\{O\in\tau: x\in O\}$, es decir, $\beta_x^1=\{O\subset X: p,x\in O\}$. Pero es evidente que de entre todos estos conjuntos $O$ que satisfacen que contienen a $p$ y a $x$, hay uno que es el más pequeño, y es claramente $O_x=\{p,x\}$. Por tanto, una base de entornos de $x$ para la topología $\tau_1$ es justamente $\beta_x^3$, es decir, coincide con la que define la topología $\tau_3$.

Para la topología $\tau_2$ (y sin calcular la topología $\tau_2$, es decir, la familia de todos los abiertos), hallamos una base de entornos usando un resultado que nos dice cómo se calcula una base de entornos a partir de una base de abiertos: una base de entornos de $x$ es la familia de elementos de $\beta_2$ que contienen a $x$. Por tanto, $$\beta_x^2=\{B\in\beta_2: x\in B\}=\{O_y:x\in O_y\}.$$ Ahora bien, dicho conjunto $O_y$ siempre contiene a $p$ y a $x$, por tanto, el conjunto $O_x$ es el más pequeño que hay entre todos ellos, y por tanto, forma base de entornos, es decir, $\beta_x^2=\{O_x\}$, que es de nuevo la base de entornos de la topología $\tau_3$.

Por tanto, al encontrar una misma base de entornos para las tres topologías, el resultado de unicidad prueba que las topologías coinciden.