martes, 16 de septiembre de 2014

Nuevo libro de topología


El curso en la Universidad de Granada está a punto de empezar. Como novedad para mí, es que no voy a dar clases de topología, después de 8 años ininterrumpidos de enseñar topología en el segundo curso de matemáticas de la antigua licenciatura, y ahora en el nuevo grado en matemáticas.

Este blog empezó en el curso 2008/09, y he intentado a lo largo de estos años hacer un blog con una publicación de entradas que fuera regular en el tiempo, al menos, durante el periodo docente.

Justo ahora que dejo la enseñanza de la asignatura de topología, acabo de publicar un libro titulado "Topología" y editado por la Editorial Universitaria de Granada. Podéis ver más información aquí.




Este libro es un desarrollo extenso de los programas de topología de los últimos años, con más de 120 'ejemplos', que no son más que un tipo de 'ejercicios resueltos', y más de 75 figuras.

También es un complemento de mi libro de ejercicios de topología general:  en verdad, éste último recoge los ejercicios propuestos del que acabo ahora de publicar.

Para este blog, mi intención en este curso es poner algunos ejercicios/ejemplos que aparecen en el nuevo libro, con algunos comentarios para su resolución. Ya os daré más detalles en próximas entradas. Espero, para aquéllos que adquieran el libro que éste sea útil en su aprendizaje de la topología que, como digo muchas veces, la topología no es fácil.

viernes, 10 de enero de 2014

Quitando subconjuntos

A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a ${\mathbb R}^2$ le quitamos un conjunto $A$ dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, $A=\{(x,y):y=0\}$ o $A=\{(x,y):y-x^2=0\}$. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.

Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.

¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?

jueves, 9 de enero de 2014

Imagen continua de un conjunto no conexo

Sabemos que la imagen de un conjunto conexo mediante una aplicación es continua. Sin  embargo, si el espacio de partida no es conexo, puede ocurrir que sea o no sea conexo. Así, si $(X,\tau)$ es un conjunto no conexo, cualquier aplicación constante (que es continua), lleva el espacio en un punto, que es conexo. Veamos otro ejemplo, sin tomar una aplicación tan 'sencilla'.

Sea la función   $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
 

miércoles, 8 de enero de 2014

Quitando conjuntos

Hoy ha surgido la duda siguiente: sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y  $A,B\subset X$. Si $A\cong B$, ¿$X-  A\cong X-  B$? La respuesta es no.

Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.

Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}-  A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}-  B$ sí lo es.

Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2-  A\not\cong {\mathbb R}^2-  B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.

Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2-  $ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.