martes, 21 de octubre de 2014

Construyendo bases


Consideramos de nuevo ahora la topología  definida  en   ${\mathbb N}$:
$$\tau=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$Vamos a calcular una base de la topología. De nuevo, lo que estamos preguntando es por una base que tenga 'pocos'  elementos. La base más grande (en número de elementos) es la propia topología $\tau$. Sea ahora una base $\beta$ una base de nuestra topología $\tau$.

Tomamos un abierto $A_n$. Sabemos que si $x\in A_n$, entonces existe un elemento $B\in\beta$ tal que $x\in B\subset A_n$. Elegimos como elemento $x$ el número natural $n\in {\mathbb N}$. Sea $B\in\beta$ tal que $n\in B\subset A_n$. Como $B$ es un abierto, entonces o es $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o un elemento de la forma $A_m$, con $m\in {\mathbb N}$. Es evidente que no puede ser el conjunto vacío ni ${\mathbb N}$. Por tanto, $n\in A_m\subset A_n$. Como $n\in A_m$, entonces $n\leq m$. Por otro lado, como $A_m\subset A_n$, entonces $$\{1,2,\ldots,m\}\subset\{1,2,\ldots,n\}.$$ Por tanto $m\leq n$. En particular, $n=m$. Esto prueba que $B$ tiene que ser $A_n$.

Como esto se ha hecho para todo $n\in {\mathbb N}$, entonces $\{A_n:n\in {\mathbb N}\}\subset\beta$. Esto quiere decir que $\beta$ contiene al menos $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$. Como conclusión, las únicas bases de este espacio topológico son $\tau-\{\emptyset,{\mathbb N}\}$, y añadir $\emptyset$, ${\mathbb N}$ o toda la topología. Por tanto, podemos decir que, esencialmente,  la única base es la propia topología. 

miércoles, 15 de octubre de 2014

Construyendo bases de entornos


Para las dos topologías de la entrada anterior, vamos a hallar una base de entornos. Recordamos las dos topologías definidas en   ${\mathbb N}$:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$ $$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$
Para hallar una base de entornos, precisamos algo más. Un punto en un espacio topológico tiene muchas bases de entornos: por ejemplo, dada una, le añadimos un entorno cualquiera del punto, resultando una base de entornos. Sin embargo, la nueva base de entornos ha incrementado su tamaño. Por tanto, lo que buscamos es una base de entornos con un número 'pequeño' de elementos.

Una forma 'standard' de construir bases de entornos de un punto $x\in X$ es considerar todos los abiertos que contiene al punto, y que denotamos por $\tau_x$:  $\tau_x=\{O\in\tau: x\in O\}$. Y a partir de ésta, intentar quitar elementos, si fuera posible. Veamos en nuestro caso.

Para la topología $\tau_1$, sea $m\in {\mathbb N}$. Es claro que $\tau_m^1=\{A_n:n\geq m\}$. Da la casualidad que cada uno de estos abiertos $A_n$ está incluido en otro $A_k$ si $k\geq n$. Por tanto, y es importante, existe un  abierto que es el más pequeño (respecto de la inclusión). Este abierto es justamente $A_m$. Por tanto, una base de entornos de $m$ es $\beta_m^1=\{A_m\}$.

Para la topología $\tau_2$, el razonamiento es análogo. Ahora $\tau_m^2=\{B_n: n\leq m\}$ y hay uno de estos abiertos más pequeño, el $B_m$. Por tanto, $\beta_m^2=\{B_m\}$.

Tener, como en este caso, bases de entornos ¡con sólo un elemento! facilita el trabajo en el espacio topológico. Por ejemplo, para hallar el interior de un conjunto $C$, y usando la caracterización por bases de entornos, entonces $m\in C$ es interior si $A_m\subset C$ (para $\tau_1)$ y si $B_m\subset C$ (para $\tau_2$). Cogiendo $C=\{3,4\}$ como en la entrada anterior, es evidente que ni $A_m$ ni $B_m$ están incluidos en $C$, luego el interior es el conjunto vacío. Del mismo modo se puede razonar para el exterior de $C$, ya que el exterior de $C$ es el interior del complementario.

martes, 14 de octubre de 2014

Cálculo del interior de un conjunto para dos topologías


En el conjunto de los número naturales ${\mathbb N}$, consideramos dos topologías:
$$\tau_1=\{\emptyset,{\mathbb N}\}\cup\{A_n: n\in {\mathbb N}\}.$$
$$\tau_2=\{\emptyset\}\cup \{B_n:n\in {\mathbb N}\}.$$Aquí $A_n=\{1,2,\ldots,n\}$ y $B_n=\{n,n+1,\ldots\}$.

Hallamos el interior,   exterior y frontera del conjunto $C=\{3,4\}$.

Empezamos con la topología $\tau_1$. El interior es el conjunto abierto más grande dentro de $C$. Ya ningún conjunto del tipo $A_n$ está incluido en $C$, el único abierto es $\emptyset$. Por tanto, $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, hallamos el interior del complementario de $C$. Éste es $\{1,2,5,6,\ldots\}$ y el abierto más grande dentro es $A_2=\{1,2\}$. Por tanto, $ext(C)=\{1,2\}$. Finalmente, la frontera es el complementario del interior y exterior, es decir, $Fr(C)=\{3,4,\ldots\}$.

Trabajamos ahora con la topología $\tau_2$.  De nuevo, no hay ningún conjunto del tipo $B_n$ dentro de $C$, luego $int(C)=\emptyset$. Para el exterior, consideramos ${\mathbb N}-C=\{1,2,5,6,\ldots\}$. Es evidente que $B_5=\{5,6,\ldots\}$ es el abierto más grande, luego $ext(C)=B_5$. Y por tanto, $Fr(C)=\{1,2,3,4\}$.

Para la adherencia, y como $\overline{C}={\mathbb N}-ext(C)$, tenemos que la adherencia de $C$ para $\tau_1$ es $\{3,4,\ldots\}$ y para la topología $\tau_2$ es $\{1,2,3,4\}$. En ambos casos, la adherencia coincide con la frontera de $C$.

martes, 30 de septiembre de 2014

Más ejemplos de espacios topológicos


Seguimos con dos ejemplos de espacios topológicos. Sea $X$ un conjunto y $A\subset X$ un subconjunto que prefijamos. Definimos la topología como
$$\tau=\{O\subset X: A\subset O\}\cup\{\emptyset\}.$$Es decir, un conjunto es abierto en la topología $\tau$ si contiene a $A$. La prueba de que $\tau$ es una topología es muy fácil. Hacemos las siguientes observaciones:

  1. La intersección arbitraria de abiertos también es abierto.
  2. Un conjunto abierto es el que contiene a $A$, pero un conjunto cerrado no es aquél que no contiene a $A$.
  3. Un conjunto $F$ es cerrado si, por definición, $A\subset X-F$, es decir, $F\subset X-A$.
La otra topología que definimos es
$$\tau'=\{O\subset X: O\subset A\}\cup\{X\}.$$Por tanto, $\tau'$ coincide con la familia de cerrados de la topología $\tau$, es decir, $\tau'=\mathcal{F}$.

Finalmente, si tomamos $A=\{p\}$ un punto fijo, la topología $\tau$ la llamamos  topología del punto incluido. Para la topología $\tau'$, tenemos $\tau'=\{\emptyset,\{p\},X\}$.