La frontera de intervalos

En la recta euclídea, la frontera de un intervalo $[a,b]$ es $\{a,b\}$, los extremos del intervalo. Habitualmente, y debido a este ejemplo, pensamos que la frontera de un conjunto se encuentra en los 'bordes' del mismo. Por supuesto, esto se debe al hecho de que estamos utilizando la topología usual. Una curiosidad: en inglés la traducción de la palabra matemática 'frontera', es 'boundary'.

Definimos en ${\mathbb R}$ la topología del punto excluido para $p=1$ y consideramos el intervalo $[0,2]$. Sabemos que una base de entornos de un punto $x$, $x\not=1$, es $\beta_x=\{\{x\}\}$ y  para $p=1$, $\beta_1=\{{\mathbb R}\}$. Por tanto
$$\mbox{Fr}([0,2])=\{1\},$$
justo el  centro del intervalo, ¡lo más alejado de los extremos!

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente (II)

Si seguimos con al entrada anterior, planteamos el mismo problema pero en dimensión 2. Pregunta: ¿existen subconjuntos $A$ de ${\mathbb S}^2$ homeomorfos a ${\mathbb S}^2$?

Con el mismo razonamiento que se hizo para ${\mathbb S}^1$, el conjunto $A$ sería homeomorfo a un conjunto conexo y compacto de ${\mathbb R}^2$. Ya puede darse uno cuenta que el problema no es tan fácil de resolver como el problema planteado en la entrada anterior para la circunferencia ${\mathbb S}^1$.

Podemos poner ejemplos particulares de subconjuntos $A$, como $A={\mathbb S}^1$. Ya se vio en clase, usando conexión, que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

Os dejo como ejercicio si es posible probar, usando las herramientas del temario de la asignatura, que el disco $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$  no es homeomorfo a ${\mathbb S}^2$.

Subconjuntos homeomorfos al espacio ambiente

Tenemos varios ejemplos de espacios topológicos que son homeomorfos a subconjuntos suyos, éstos con la topología inducida. Por ejemplo, todo subconjunto de un espacio discreto tiene la topología discreta. Por tanto, para buscar un ejemplo, basta con que el conjunto sea biyectivo con el subconjunto. Por ejemplo, $({\mathbb N},\tau_D)$ es homeomorfo a $(\{2n:n\in{\mathbb N}\},\tau_D)$.

Volviendo a un caso más 'cercano', sabemos que $(0,1)$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$ con las topologías usuales. Nos planteamos el problema con la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Si $A\varsubsetneq {\mathbb S}^1$ y $A\cong {\mathbb S}^1$, entonces $A$ es un conjunto conexo y compacto. Como la inclusión es estricta, podemos suponer que $A\subset {\mathbb S}^1\setminus\{p\}$, para un cierto punto $p$. Como ${\mathbb S}^1\setminus\{p\}\cong{\mathbb R}$, entonces $A$ es homeomorfo a un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$. Sin embargo, $[a,b]$ no puede ser homeomorfo a ${\mathbb S}^1$, ya que entonces $(a,b)$ (que es conexo) sería homeomorfo a ${\mathbb S}^1$ menos dos puntos, es decir, a ${\mathbb R}$ menos un punto, que no es conexo.

Concluimos que ${\mathbb S}^1$ no es homeomorfo a ningún subconjunto suyo.

La circunferencia como cociente de la esfera

Seguimos con otro ejemplo de la entrada anterior. Tomamos la proyección $f:{\mathbb S}^2\rightarrow{\mathbb R}$ dada por $f(x,y,z)=z$. Esta aplicación es cerrada y continua y su imagen es $[-1,1]$. Y ahora hacemos el correspondiente cociente para identificar $[-1,1]$ con ${\mathbb S}^1$ relacionando $x=-1$ con $x=1$. Entonces definimos $g:[-1,1]\rightarrow {\mathbb S}^1$ mediante $g(t)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$.

Resumiendo, la aplicación $h:{\mathbb S}^2\rightarrow {\mathbb S}^1$ dada por $h=g\circ f$, $h(x,y,z)=(\cos(\pi t),\sin (\pi t))$ induce un homeomorfismo ${\mathbb S}^2/R_h\cong {\mathbb S}^1$. Si queremos escribir $R_h$, entonces sería
$$(x,y,z)R_h (x',y',z')\mbox{ si }|z-z'|=2.$$