martes, 7 de junio de 2011

Un matiz sobre compacidad

En el concepto de compacidad para subconjuntos de un espacio topológico, uno puede usar abiertos de dicho subconjunto (abiertos relativos) o abiertos del espacio ambiente. Concretamente.

Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico y $A\subset X$, entonces se dice (¡definición!) que $A$ es compacto si el espacio $(A,\tau_A)$ es compacto. Por tanto, al hacer ejercicios para estudiar si un subconjunto es compacto, si se quiere hacerlos usando la definición, hay que coger recubrimientos por abiertos relativos de A.

Sin embargo hay una caracterización de subconjuntos compactos usando abiertos de $(X,\tau)$. Así $A$ es compacto si y sólo si, para cualquier recubrimiento de $A$ por abiertos de $X$ (¡elementos de $\tau$!), entonces existe un subrecubrimiento finito.


En el ejemplo de hoy ha aparecido ambas cosas. El ejercicio decía que en un espacio topológico, la unión de dos subconjuntos compactos $A$ y $B$ también es compacto. Hay dos formas de probarlo:

1. Por definición. Para ello hay que tomar un recubrimiento por abiertos relativos de $A\cup B$. Ese mismo recubrimiento es un recubrimiento de $A$, ya que $A\subset A\cup B$. Como $A$ es compacto, usando la caracterización de compacidad y la transitividad de las topologías relativas, se tiene que un subrecubrimiento finito de $A$. Lo mismo se hace con $B$, y la unión de esos dos recubrimientos (que tiene que ser finito), es el recubrimiento finito buscado para $A\cup B$ (hay que seguir trabajando un poquito más aquí).

2. Por la caracterización de compacidad. Tomamos un recubrimiento de $A\cup B$ por abiertos de $X$. Ya que $A\subset A\cup B$, entonces ese mismo recubrimiento es uno de $A$ por abiertos de $X$. Por tanto, por la caracterización, existe uno finito. Lo mismo se hace para $B$, y la unión de ambos recubrimientos finitos es un recubrimiento finito de $A\cup B$ por abiertos de $X$ (ahora no hay que trabajar más).

Parece lo mismo, pero no lo es: un pequeño matiz...

jueves, 2 de junio de 2011

Cuando pegar es pegar de verdad

Voy a recordar un ejercicio que se hizo ayer en clase y justifica el título de esta entrada.

En el plano $R^2$ consideramos el conjunto $X$ formado por dos rectas paralelas, concretamente las rectas $y=0$ e $y=1$:
$$X=\{(x,0);x\in R\}\cup \{(x,1);x\in R\}.$$
Consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que relaciona $(x,0)$ con $(x,1)$, para cada $x\in R$. Entonces el espacio cociente $X/\sim$ es homeomorfo a la recta euclídea $R$ (o si uno prefiere, por ejemplo, a la recta $y=0$).

Intuitivamente la relación de equivalencia nos dice que pegamos la recta $y=0$ con la recta $y=1$, pegando cada punto $(x,0)$ con el correspondiente $(x,1)$ de la recta $y=1$. Y es evidente que el cociente da ¡una única recta!

Basta con definir la aplicación $f:X\rightarrow R$ por $f(x,y)=x$. Esta aplicación tiene una inversa continua por la derecha, luego identificación. Además la relación inducida por $f$ es $\sim$.